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Équations de la forme y'=ay+f

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Exercice 1

On considère l’équation différentielle (E): y′−4y=3x−2(E):\ y'-4y=3x-2.

  1. Résoudre l’équation sans second membre (E′): y′−4y=0(E'):\ y'-4y=0.

  2. Déterminer aa et bb tels que la fonction gg définie sur R\mathbb R par g(x)=ax+bg(x)=ax+b soit une solution particulière de (E)(E).

  3. Montrer que ff est solution de (E)(E) si et seulement si (f−g)(f-g) est solution de (E′)(E').

  4. En déduire l’ensemble des solutions de (E)(E).

Exercice 2

On considère l’équation différentielle (E): y′−y=5 ex−2(E):\ y'-y=5\,\text e^{x}-2.

  1. Résoudre l’équation sans second membre (E′): y′−y=0(E'):\ y'-y=0.

  2. Déterminer aa et bb tels que la fonction gg définie sur R\mathbb R par g(x)=a x ex+bg(x)=a\,x\,\text e^{x}+b soit une solution particulière de (E)(E).

  3. Montrer que ff est solution de (E)(E) si et seulement si (f−g)(f-g) est solution de (E′)(E').

  4. En déduire l’ensemble des solutions de (E)(E).

Révéler le corrigé

Exercice 1

On considère (E): y′−4y=3x−2(E):\ y'-4y=3x-2.

a) Résoudre l’équation sans second membre (E′): y′−4y=0(E'):\ y'-4y=0
y′=4y ⟹ y′y=4 ⟹ ln⁡∣y∣=4x+C ⟹ yH(x)=k e4x  k∈R.y'=4y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=4 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=4x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{4x}\,\ k\in\mathbb R.

b) Déterminer aa et bb pour que g(x)=ax+bg(x)=ax+b soit solution de (E)(E)
g′(x)=a.g'(x)=a.
On impose g′(x)−4g(x)=3x−2g'(x)-4g(x)=3x-2 :
a−4(ax+b)=3x−2.a-4(ax+b)=3x-2.
Identification des coefficients :
−4a=3 ⟹ a=−34.-4a=3 \ \Longrightarrow\ a=-\dfrac{3}{4}.
a−4b=−2 ⟹ −34−4b=−2 ⟹ −4b=−54 ⟹ b=516.a-4b=-2 \ \Longrightarrow\ -\dfrac{3}{4}-4b=-2 \ \Longrightarrow\ -4b=-\dfrac{5}{4} \ \Longrightarrow\ b=\dfrac{5}{16}.
Ainsi, g(x)=−34x+516g(x)=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{16} est une solution particulière.

c) Montrer que ff est solution de (E)(E) ⟺\Longleftrightarrow (f−g)(f-g) est solution de (E′)(E')
(f−g)(f-g) solution de (E′) ⟺ (f−g)′−4(f−g)=0.(E') \ \Longleftrightarrow\ (f-g)'-4(f-g)=0.
⟺ f′−4f−(g′−4g)=0.\Longleftrightarrow\ f'-4f-\bigl(g'-4g\bigr)=0.
⟺ f′−4f=g′−4g.\Longleftrightarrow\ f'-4f=g'-4g.
Comme gg vérifie (E)(E), on a g′−4g=3x−2g'-4g=3x-2, donc
f′−4f=3x−2 ⟺ ff'-4f=3x-2 \ \Longleftrightarrow\ f est solution de (E)(E).
d) En déduire l’ensemble des solutions de (E)(E)
y(x)=yH(x)+g(x)=k e4x−34x+516,  k∈R.y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{4x}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{16},\ \ k\in\mathbb R.

Exercice 2

On considère (E): y′−y=5 ex−2(E):\ y'-y=5\,\text e^{x}-2.
a) Résoudre l’équation sans second membre (E′): y′−y=0(E'):\ y'-y=0
y′=y ⟹ y′y=1 ⟹ ln⁡∣y∣=x+C ⟹ yH(x)=k ex  k∈R.y'=y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=1 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{x}\,\ k\in\mathbb R.

b) Déterminer aa et bb pour que g(x)=a x ex+bg(x)=a\,x\,\text e^{x}+b soit solution de (E)(E)
g′(x)=a ex+a x ex.g'(x)=a\,\text e^{x}+a\,x\,\text e^{x}.
On impose g′(x)−g(x)=5 ex−2g'(x)-g(x)=5\,\text e^{x}-2 :
(a ex+a x ex)−(a x ex+b)=5 ex−2.\bigl(a\,\text e^{x}+a\,x\,\text e^{x}\bigr)-\bigl(a\,x\,\text e^{x}+b\bigr)=5\,\text e^{x}-2.
Il vient a ex−b=5 ex−2.a\,\text e^{x}-b=5\,\text e^{x}-2.
Identification :
a=5a=5 et b=2.b=2.
Ainsi, g(x)=5x ex+2g(x)=5x\,\text e^{x}+2 est une solution particulière.

c) Montrer que ff est solution de (E)(E) ⟺\Longleftrightarrow (f−g)(f-g) est solution de (E′)(E')
(f−g)(f-g) solution de (E′) ⟺ (f−g)′−(f−g)=0.(E') \ \Longleftrightarrow\ (f-g)'- (f-g)=0.
⟺ f′−f−(g′−g)=0.\Longleftrightarrow\ f'-f-\bigl(g'-g\bigr)=0.
⟺ f′−f=g′−g.\Longleftrightarrow\ f'-f=g'-g.
Comme gg vérifie (E)(E), on a g′−g=5 ex−2g'-g=5\,\text e^{x}-2, donc
f′−f=5 ex−2 ⟺ ff'-f=5\,\text e^{x}-2 \ \Longleftrightarrow\ f est solution de (E)(E).
d) En déduire l’ensemble des solutions de (E)(E)
y(x)=yH(x)+g(x)=k ex+5x ex+2   k∈R.y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{x}+5x\,\text e^{x}+2\,\ \ k\in\mathbb R.
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