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Équations de la forme y'=ay+f

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Tu veux maîtriser y'=ay+f sans te perdre ? Ces 2 exercices corrigés pas à pas te l’apprennent. Mots-clés équations différentielles premier ordre, y'=ay+f, méthode pas à pas, solution particulière, équation homogène, identification des coefficients, exercices corrigés, préparation contrôle, terminale spé maths

Énoncé

Exercice 1

On considère l’équation différentielle $(E):\ y'-4y=3x-2$ .

Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-4y=0$ .
Déterminer $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=ax+b$ soit une solution particulière de $(E)$ .
Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $(f-g)$ est solution de $(E')$ .
En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$ .

Exercice 2

On considère l’équation différentielle $(E):\ y'-y=5\,\text e^{x}-2$ .

Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-y=0$ .
Déterminer $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=a\,x\,\text e^{x}+b$ soit une solution particulière de $(E)$ .
Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $(f-g)$ est solution de $(E')$ .
En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$ .

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Exercice 1

On considère $(E):\ y'-4y=3x-2$ .

a) Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-4y=0$

$y'=4y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=4 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=4x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{4x}\,\ k\in\mathbb R.$

b) Déterminer $a$ et $b$ pour que $g(x)=ax+b$ soit solution de $(E)$

$g'(x)=a.$
On impose $g'(x)-4g(x)=3x-2$ :
$a-4(ax+b)=3x-2.$
Identification des coefficients :
$-4a=3 \ \Longrightarrow\ a=-\dfrac{3}{4}.$
$a-4b=-2 \ \Longrightarrow\ -\dfrac{3}{4}-4b=-2 \ \Longrightarrow\ -4b=-\dfrac{5}{4} \ \Longrightarrow\ b=\dfrac{5}{16}.$
Ainsi, $g(x)=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{16}$ est une solution particulière.

c) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ $\Longleftrightarrow$ $(f-g)$ est solution de $(E')$

$(f-g)$ solution de $(E') \ \Longleftrightarrow\ (f-g)'-4(f-g)=0.$
$\Longleftrightarrow\ f'-4f-\bigl(g'-4g\bigr)=0.$
$\Longleftrightarrow\ f'-4f=g'-4g.$
Comme $g$ vérifie $(E)$ , on a $g'-4g=3x-2$ , donc
$f'-4f=3x-2 \ \Longleftrightarrow\ f$ est solution de $(E)$ .

d) En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$

$y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{4x}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{16},\ \ k\in\mathbb R.$

Exercice 2

On considère $(E):\ y'-y=5\,\text e^{x}-2$ .

a) Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-y=0$

$y'=y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=1 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{x}\,\ k\in\mathbb R.$

b) Déterminer $a$ et $b$ pour que $g(x)=a\,x\,\text e^{x}+b$ soit solution de $(E)$

$g'(x)=a\,\text e^{x}+a\,x\,\text e^{x}.$
On impose $g'(x)-g(x)=5\,\text e^{x}-2$ :
$\bigl(a\,\text e^{x}+a\,x\,\text e^{x}\bigr)-\bigl(a\,x\,\text e^{x}+b\bigr)=5\,\text e^{x}-2.$
Il vient $a\,\text e^{x}-b=5\,\text e^{x}-2.$
Identification :
$a=5$ et $b=2.$
Ainsi, $g(x)=5x\,\text e^{x}+2$ est une solution particulière.

c) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ $\Longleftrightarrow$ $(f-g)$ est solution de $(E')$

$(f-g)$ solution de $(E') \ \Longleftrightarrow\ (f-g)'- (f-g)=0.$
$\Longleftrightarrow\ f'-f-\bigl(g'-g\bigr)=0.$
$\Longleftrightarrow\ f'-f=g'-g.$
Comme $g$ vérifie $(E)$ , on a $g'-g=5\,\text e^{x}-2$ , donc
$f'-f=5\,\text e^{x}-2 \ \Longleftrightarrow\ f$ est solution de $(E)$ .

d) En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$

$y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{x}+5x\,\text e^{x}+2\,\ \ k\in\mathbb R.$

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Exercice 1

On considère l’équation différentielle $(E):\ y'-4y=3x-2$ .

Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-4y=0$ .
Déterminer $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=ax+b$ soit une solution particulière de $(E)$ .
Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $(f-g)$ est solution de $(E')$ .
En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$ .

Exercice 2

On considère l’équation différentielle $(E):\ y'-y=5\,\text e^{x}-2$ .

Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-y=0$ .
Déterminer $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=a\,x\,\text e^{x}+b$ soit une solution particulière de $(E)$ .
Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $(f-g)$ est solution de $(E')$ .
En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$ .

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Exercice 1

On considère $(E):\ y'-4y=3x-2$ .

a) Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-4y=0$

$y'=4y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=4 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=4x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{4x}\,\ k\in\mathbb R.$

b) Déterminer $a$ et $b$ pour que $g(x)=ax+b$ soit solution de $(E)$

$g'(x)=a.$
On impose $g'(x)-4g(x)=3x-2$ :
$a-4(ax+b)=3x-2.$
Identification des coefficients :
$-4a=3 \ \Longrightarrow\ a=-\dfrac{3}{4}.$
$a-4b=-2 \ \Longrightarrow\ -\dfrac{3}{4}-4b=-2 \ \Longrightarrow\ -4b=-\dfrac{5}{4} \ \Longrightarrow\ b=\dfrac{5}{16}.$
Ainsi, $g(x)=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{16}$ est une solution particulière.

c) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ $\Longleftrightarrow$ $(f-g)$ est solution de $(E')$

$(f-g)$ solution de $(E') \ \Longleftrightarrow\ (f-g)'-4(f-g)=0.$
$\Longleftrightarrow\ f'-4f-\bigl(g'-4g\bigr)=0.$
$\Longleftrightarrow\ f'-4f=g'-4g.$
Comme $g$ vérifie $(E)$ , on a $g'-4g=3x-2$ , donc
$f'-4f=3x-2 \ \Longleftrightarrow\ f$ est solution de $(E)$ .

d) En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$

$y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{4x}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{16},\ \ k\in\mathbb R.$

Exercice 2

On considère $(E):\ y'-y=5\,\text e^{x}-2$ .

a) Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-y=0$

$y'=y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=1 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{x}\,\ k\in\mathbb R.$

b) Déterminer $a$ et $b$ pour que $g(x)=a\,x\,\text e^{x}+b$ soit solution de $(E)$

$g'(x)=a\,\text e^{x}+a\,x\,\text e^{x}.$
On impose $g'(x)-g(x)=5\,\text e^{x}-2$ :
$\bigl(a\,\text e^{x}+a\,x\,\text e^{x}\bigr)-\bigl(a\,x\,\text e^{x}+b\bigr)=5\,\text e^{x}-2.$
Il vient $a\,\text e^{x}-b=5\,\text e^{x}-2.$
Identification :
$a=5$ et $b=2.$
Ainsi, $g(x)=5x\,\text e^{x}+2$ est une solution particulière.

c) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ $\Longleftrightarrow$ $(f-g)$ est solution de $(E')$

$(f-g)$ solution de $(E') \ \Longleftrightarrow\ (f-g)'- (f-g)=0.$
$\Longleftrightarrow\ f'-f-\bigl(g'-g\bigr)=0.$
$\Longleftrightarrow\ f'-f=g'-g.$
Comme $g$ vérifie $(E)$ , on a $g'-g=5\,\text e^{x}-2$ , donc
$f'-f=5\,\text e^{x}-2 \ \Longleftrightarrow\ f$ est solution de $(E)$ .

d) En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$

$y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{x}+5x\,\text e^{x}+2\,\ \ k\in\mathbb R.$

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Exercice 1

On considère (E): y′−4y=3x−2(E):\ y'-4y=3x-2(E): y′−4y=3x−2.

a) Résoudre l’équation sans second membre (E′): y′−4y=0(E'):\ y'-4y=0(E′): y′−4y=0

y′=4y ⟹ y′y=4 ⟹ ln⁡∣y∣=4x+C ⟹ yH(x)=k e4x k∈R.y'=4y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=4 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=4x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{4x}\,\ k\in\mathbb R.y′=4y ⟹ yy′​=4 ⟹ ln∣y∣=4x+C ⟹ yH​(x)=ke4x k∈R.

b) Déterminer aaa et bbb pour que g(x)=ax+bg(x)=ax+bg(x)=ax+b soit solution de (E)(E)(E)

c) Montrer que fff est solution de (E)(E)(E) ⟺\Longleftrightarrow⟺ (f−g)(f-g)(f−g) est solution de (E′)(E')(E′)

d) En déduire l’ensemble des solutions de (E)(E)(E)

y(x)=yH(x)+g(x)=k e4x−34x+516, k∈R.y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{4x}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{16},\ \ k\in\mathbb R.y(x)=yH​(x)+g(x)=ke4x−43​x+165​, k∈R.

Exercice 2

On considère (E): y′−y=5 ex−2(E):\ y'-y=5\,\text e^{x}-2(E): y′−y=5ex−2.

a) Résoudre l’équation sans second membre (E′): y′−y=0(E'):\ y'-y=0(E′): y′−y=0

y′=y ⟹ y′y=1 ⟹ ln⁡∣y∣=x+C ⟹ yH(x)=k ex k∈R.y'=y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=1 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{x}\,\ k\in\mathbb R.y′=y ⟹ yy′​=1 ⟹ ln∣y∣=x+C ⟹ yH​(x)=kex k∈R.

b) Déterminer aaa et bbb pour que g(x)=a x ex+bg(x)=a\,x\,\text e^{x}+bg(x)=axex+b soit solution de (E)(E)(E)

c) Montrer que fff est solution de (E)(E)(E) ⟺\Longleftrightarrow⟺ (f−g)(f-g)(f−g) est solution de (E′)(E')(E′)

d) En déduire l’ensemble des solutions de (E)(E)(E)

y(x)=yH(x)+g(x)=k ex+5x ex+2 k∈R.y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{x}+5x\,\text e^{x}+2\,\ \ k\in\mathbb R.y(x)=yH​(x)+g(x)=kex+5xex+2 k∈R.

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Énoncé

Exercice 1

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Exercice 1

On considère (E): y′−4y=3x−2(E):\ y'-4y=3x-2(E): y′−4y=3x−2.

a) Résoudre l’équation sans second membre (E′): y′−4y=0(E'):\ y'-4y=0(E′): y′−4y=0

y′=4y ⟹ y′y=4 ⟹ ln⁡∣y∣=4x+C ⟹ yH(x)=k e4x k∈R.y'=4y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=4 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=4x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{4x}\,\ k\in\mathbb R.y′=4y ⟹ yy′​=4 ⟹ ln∣y∣=4x+C ⟹ yH​(x)=ke4x k∈R.

b) Déterminer aaa et bbb pour que g(x)=ax+bg(x)=ax+bg(x)=ax+b soit solution de (E)(E)(E)

c) Montrer que fff est solution de (E)(E)(E) ⟺\Longleftrightarrow⟺ (f−g)(f-g)(f−g) est solution de (E′)(E')(E′)

d) En déduire l’ensemble des solutions de (E)(E)(E)

y(x)=yH(x)+g(x)=k e4x−34x+516, k∈R.y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{4x}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{16},\ \ k\in\mathbb R.y(x)=yH​(x)+g(x)=ke4x−43​x+165​, k∈R.

Exercice 2

On considère (E): y′−y=5 ex−2(E):\ y'-y=5\,\text e^{x}-2(E): y′−y=5ex−2.

a) Résoudre l’équation sans second membre (E′): y′−y=0(E'):\ y'-y=0(E′): y′−y=0

y′=y ⟹ y′y=1 ⟹ ln⁡∣y∣=x+C ⟹ yH(x)=k ex k∈R.y'=y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=1 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{x}\,\ k\in\mathbb R.y′=y ⟹ yy′​=1 ⟹ ln∣y∣=x+C ⟹ yH​(x)=kex k∈R.

b) Déterminer aaa et bbb pour que g(x)=a x ex+bg(x)=a\,x\,\text e^{x}+bg(x)=axex+b soit solution de (E)(E)(E)

c) Montrer que fff est solution de (E)(E)(E) ⟺\Longleftrightarrow⟺ (f−g)(f-g)(f−g) est solution de (E′)(E')(E′)

d) En déduire l’ensemble des solutions de (E)(E)(E)

y(x)=yH(x)+g(x)=k ex+5x ex+2 k∈R.y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{x}+5x\,\text e^{x}+2\,\ \ k\in\mathbb R.y(x)=yH​(x)+g(x)=kex+5xex+2 k∈R.

On considère $(E):\ y'-4y=3x-2$ .

a) Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-4y=0$

$y'=4y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=4 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=4x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{4x}\,\ k\in\mathbb R.$

b) Déterminer $a$ et $b$ pour que $g(x)=ax+b$ soit solution de $(E)$

c) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ $\Longleftrightarrow$ $(f-g)$ est solution de $(E')$

d) En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$

$y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{4x}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{16},\ \ k\in\mathbb R.$

On considère $(E):\ y'-y=5\,\text e^{x}-2$ .

a) Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-y=0$

$y'=y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=1 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{x}\,\ k\in\mathbb R.$

b) Déterminer $a$ et $b$ pour que $g(x)=a\,x\,\text e^{x}+b$ soit solution de $(E)$

c) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ $\Longleftrightarrow$ $(f-g)$ est solution de $(E')$

d) En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$

$y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{x}+5x\,\text e^{x}+2\,\ \ k\in\mathbb R.$

On considère $(E):\ y'-4y=3x-2$ .

a) Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-4y=0$

$y'=4y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=4 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=4x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{4x}\,\ k\in\mathbb R.$

b) Déterminer $a$ et $b$ pour que $g(x)=ax+b$ soit solution de $(E)$

c) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ $\Longleftrightarrow$ $(f-g)$ est solution de $(E')$

d) En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$

$y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{4x}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{16},\ \ k\in\mathbb R.$

On considère $(E):\ y'-y=5\,\text e^{x}-2$ .

a) Résoudre l’équation sans second membre $(E'):\ y'-y=0$

$y'=y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=1 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=x+C \ \Longrightarrow\ y_H(x)=k\,\text e^{x}\,\ k\in\mathbb R.$

b) Déterminer $a$ et $b$ pour que $g(x)=a\,x\,\text e^{x}+b$ soit solution de $(E)$

c) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ $\Longleftrightarrow$ $(f-g)$ est solution de $(E')$

d) En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$

$y(x)=y_H(x)+g(x)=k\,\text e^{x}+5x\,\text e^{x}+2\,\ \ k\in\mathbb R.$