Équations avec complexe et conjugué

Exercice 1

Consigne : résoudre dans $\mathbb C$ l’équation $(2-i)z-3+5i=0$.

On isole $z$ : $(2-i)z=3-5i$.
On divise par $2-i$ :
$z=\dfrac{3-5i}{2-i}\cdot\dfrac{2+i}{2+i}=\dfrac{(3-5i)(2+i)}{5}=\dfrac{11-7i}{5}$.
Conclusion : $z=\dfrac{11}{5}-\dfrac{7}{5}i$.

👉 Conseil : pour diviser par un complexe $a+bi$, multiplie numérateur et dénominateur par son conjugué $a-bi$.

Exercice 2

Consigne : déterminer $z\in\mathbb C$ tel que $(4+3i)\overline z-6+8i=0$.

On isole $\overline z$ : $(4+3i)\overline z=6-8i$, donc $\overline z=\dfrac{6-8i}{4+3i}$.
On prend le conjugué pour obtenir $z$ : $z=\overline{\ \dfrac{6-8i}{4+3i}\ }=\dfrac{6+8i}{4-3i}$.
Rationalisation :
$z=\dfrac{6+8i}{4-3i}\cdot\dfrac{4+3i}{4+3i}=\dfrac{(6+8i)(4+3i)}{25}=\dfrac{50i}{25}=2i$.
Conclusion : $z=2i$.

👉 Astuce : $\overline{\left(\dfrac{u}{v}\right)}=\dfrac{\overline u}{\overline v}$ tant que $v\neq0$.

Exercice 3

Consigne : résoudre dans $\mathbb C$ l’équation $z=\dfrac{3\overline z}{4}$.

On écrit $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb R$ et $\overline z=x-iy$.
Équation équivalente : $4(x+iy)=3(x-iy)$.

👉 Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Séparation réelle/imaginaire : $4x=3x$ et $4y=-3y$.
On obtient $x=0$ et $7y=0$, donc $y=0$.
Conclusion : $z=0$ est l’unique solution.

👉 Conseil : quand $z$ et $\overline z$ apparaissent linéairement, passe par $x$ et $y$ puis sépare partie réelle et imaginaire.

Exercice 4

Consigne : déterminer l’ensemble des solutions de $z+1=-2i+\overline z$.

On regroupe : $z-\overline z=-2i-1$.
Or $z-\overline z=2iy$ (avec $y$ réel) est toujours purement imaginaire.
Le membre de droite $-2i-1$ n’est pas purement imaginaire (sa partie réelle vaut $-1$).
Contradiction : aucune valeur de $z$ ne peut vérifier l’égalité.
Conclusion : aucune solution.

👉 Point de vigilance : une égalité de complexes impose l’égalité des parties réelles et des parties imaginaires.

Exercice 5

Consigne : résoudre dans $\mathbb C$ l’équation $z\overline z=3z+2$.

On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels ; alors $z\overline z=|z|^2=x^2+y^2$.
On obtient $x^2+y^2=3(x+iy)+2=3x+2+3iy$.
Séparation : $\begin{cases}x^2+y^2=3x+2\\0=3y\end{cases}$, donc $y=0$.
L’équation réelle devient $x^2=3x+2$, soit $x^2-3x-2=0$.
Discriminant : $\Delta=9+8=17$.
Solutions réelles : $x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}$.
Conclusion : $z=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}$ ou $z=\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}$.

👉 Conseil : $z\overline z=|z|^2$ qui vaut $x^2+y^2$ est en réalité le carré du module de $z$.

Exercice 6

Consigne : déterminer $z\in\mathbb C$ tel que $\overline z+4=z\overline z+2i$.

Avec $z=x+iy$ (et $x$ et $y$ réels) : $\overline z=x-iy$ et $z\overline z=x^2+y^2$.
Égalité composante par composante :
$\begin{cases}x+4=x^2+y^2\\-y=2\end{cases}$, d’où $y=-2$.
Remplacement dans la partie réelle : $x+4=x^2+4\ \Rightarrow\ x=x^2$.
Donc $x(x-1)=0$, d’où $x=0$ ou $x=1$.
Conclusion : $z=-2i$ ou $z=1-2i$.

👉 Astuce : poser $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, transforme les égalités en un petit système simple.