Droites parallèles et confondues dans l’espace : exercices corrigés pas à pas

Exercice 1

Un vecteur directeur de la droite $(AC)$ est $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}\alpha-1\\2\\\alpha\end{pmatrix}.$

Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}.$

Les droites $(AC)$ et $d$ sont parallèles si les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{u}.$

Nous obtenons alors :

$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{u}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\alpha-1&=&k\\2&=&2k\\\alpha&=&-k\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\alpha-1&=&k\\k&=&1\\\alpha&=&-k\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\alpha&=&2\\k&=&1\\\alpha&=&-1\end{matrix}\right.$

Ce qui est impossible car $\alpha$ prend simultanément deux valeurs distinctes.

Il n’existe donc pas de valeur de $\alpha$ telle que les droites $(AC)$ et $d$ sont parallèles.

Dès lors, l’affirmation est fausse.

Exercice 2

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(-1; 2; -2)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :

$\left\lbrace\begin{matrix} x &=& 1 - t \\ y &=& -2 + 2t \\ z &=& 3 - 2t \end{matrix}\right., \quad t \in \mathbb{R}$

$C$ est un point de la droite $(AB)$ signifie :

$\left\lbrace\begin{matrix} -3 &=& 1 - t \\ 6 &=& -2 + 2t \\ -5 &=& 3 - 2t \end{matrix}\right.$

Or ce système équivaut à $t = 4$ :
C appartient donc à la droite $(AB)$.

En revanche, le point $D$ n'appartient pas à la droite $(AB)$ car le système

$\left\lbrace\begin{matrix} 2 &=& 1 - t \\ -5 &=& -2 + 2t \\ 5 &=& 3 - 2t \end{matrix}\right.$

n'a pas de solution.

Exercice 3

Un vecteur directeur de la droite $(AC)$ est $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}\alpha-1\\2\\-1\end{pmatrix}.$

Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}.$

Les droites $(AC)$ et $d$ sont confondues si, d’une part, les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires (même direction), et d’autre part si elles ont un point commun. Or $A(1;0;0)$ appartient à $d$ pour $t=0$, donc il suffit d’avoir $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{u}$ pour un certain réel $k$.

Nous obtenons alors :
$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{u}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\alpha-1&=&k\\2&=&2k\\-1&=&-k\end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\alpha-1&=&k\\k&=&1\\-1&=&-k\end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\alpha&=&2\\k&=&1\\1&=&k\end{matrix}\right.$

Ainsi, $\alpha=2$ et cette valeur est unique.

De plus, si $t=0$ dans le système paramétrique de $(d)$, on obtient le point $A$, donc $A\in (d)$.

Les droites $(AC)$ et $d$ sont donc confondues.

Dès lors, l’affirmation est vraie.