Entraînement aux QCM (3)

1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on donne les points :
   $A(2 ; -2), B(4 ; 0), C(0 ; -5), D(-7 ; 1)$

$\underline{\textbf{Affirmation 1}}$

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.

$\longrightarrow\ \textcolor{red}{\text{Affirmation fausse.}}$

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.
Des vecteurs directeurs des droites $(AB)$ et $(CD)$ sont respectivement les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$
Analysons l'orthogonalité des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ en observant si leur produit scalaire est nul.
Calcul de leurs coordonnées :
$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\ (x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)=(4-2\,;\,0-(-2))=(2\,;\,2)\\\overrightarrow{CD}\ (x_D-x_C\,;\,y_D-y_C)=(-7-0\,;\,1-(-5))=(-7\,;\,6)\end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\ (2\,;\,2)\\\overrightarrow{CD}\ (-7\,;\,6)\end{matrix}\right.$
Calcul de leur produit scalaire :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=x_{\overrightarrow{AB}}\times x_{\overrightarrow{CD}}+y_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{CD}}\\{\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}}=2\times(-7)+2\times6=-14+12\\{\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}}=-2\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-2\neq 0}$

Puisque le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$ n'est pas nul, nous en déduisons que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas orthogonaux.
Par conséquent, les droites (AB) et (CD) ne sont pas perpendiculaires.
L'affirmation 1 est donc fausse.

$\underline{\textbf{Affirmation 2 }}$

Une équation de la droite perpendiculaires à $(AB)$ passant par $C$ est : $y = x - 5$ $\longrightarrow\ \textcolor{red}{\text{Affirmation fausse.}}$

Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est égal à $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-(-2)}{4-2}=\dfrac{2}{2}=1$
Le coefficient directeur de la droite d'équation $y = x - 5$ est égal à 1 (coefficient de $x$).
Ces coefficients directeurs sont tous deux égaux à 1.
Par conséquent, la droite équation $y = x - 5$ est parallèle à la droite $(AB)$.
L'affirmation 2 est donc fausse.
Remarque : Une équation de la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ est $y = -x - 5$.

$\underline{\textbf{Affirmation 3 }}$ :

Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est :$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 8$

$\longrightarrow\ \textcolor{red}{\text{Affirmation vraie.}}$

Une équation du cercle de centre $\omega(a ; b)$ et de rayon $R$ est de la forme : $\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2}$
Or le cercle donné est de centre $A(2 ; -2)$.
Donc $a = 2$ et $b = -2$
Le rayon du cercle est $R = AB$
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

${\phantom{AB}}=\sqrt{(4-2)^2+(0-(-2))^2}$

${\phantom{AB}}=\sqrt{2^2+2^2}$

${\phantom{AB}}=\sqrt{4+4}$

${\phantom{AB}}=\sqrt{8}$

$\\\Longrightarrow\boxed{R^2=AB^2=8}$

Par conséquent, une équation du cercle de centre A et passant par B est $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 8$
L'affirmation 3 est donc vraie.

$2.$ Soit $f$ la fonction définie pour tout $x \in\ ]0 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{x}$

$\underline{\textbf{Affirmation 4 : }}$$f'(1)=0$

$\longrightarrow\ \textcolor{red}{\text{Affirmation vraie.}}$

$f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}\right)'=\dfrac{(\text{e}^x)'\times x-\text{e}^x\times x'}{x^2}\\=\dfrac{\text{e}^x\times x-\text{e}^x\times 1}{x^2}\\=\dfrac{x,\text{e}^x-\text{e}^x}{x^2}\\=\dfrac{(x-1),\text{e}^x}{x^2}\\\Longrightarrow \boxed{f'(x)=\dfrac{(x-1),\text{e}^x}{x^2}}\\\Longrightarrow f'(1)=\dfrac{(1-1),\text{e}^1}{1^2}\\\Longrightarrow \boxed{\textcolor{red}{f'(1)=0}}$

L'affirmation 4 est donc vraie.

$3.$ On donne : $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$

$\underline{\textbf{Affirmation 5 :}}$

$\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0$

$\longrightarrow\ \textcolor{red}{\text{Affirmation fausse.}}$

$0<\dfrac{2\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow\boxed{\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>0}$
L'affirmation 5 est donc fausse.