Entraînement aux QCM (2)

Ceci étant un entraînement aux QCM, et dans ce cadre, il est demandé de justifier chaque réponse, ce qui ne sera pas nécessairement le cas lors de l'épreuve finale. Bien lire les consignes le jour de l'examen.

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)\text{e}^x$.

${\textbf{Question 1. }}\mathbf{Affirmation\ b :\ }f'(x)=(x+2)\ \text{e}^x.$

$f'(x)=(x+1)'\times\text{e}^x+(x+1)\times(\text{e}^x)'\\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^x+(x+1)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(1+x+1)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(x+2)\times\text{e}^x \\\text{D'où }\ \ \boxed{f'(x)=(x+2)\,\text{e}^x }$

La réponse correcte est donc la proposition b.

${\textbf{Question 2. }}\mathbf{Affirmation\ c :\ }\dfrac{\text{e}^b}{\text{e}^{-a}}.$

Pour tout réel $m$, nous savons que $\boxed{\text{e}^{-m}=\dfrac{1}{\text{e}^m}}\Longleftrightarrow\text{e}^{-m}\times\text{e}^m=1\Longleftrightarrow\boxed{\text{e}^{m}=\dfrac{1}{\text{e}^{-m}}}$

$\text{D'où }\ \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}=\text{e}^a\times\dfrac{1}{\text{e}^{-b}} \\ \phantom{\text{D'où }\ \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}}=\dfrac{1}{\text{e}^{-a}}\times\text{e}^b \\ \phantom{\text{D'où }\ \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}}=\dfrac{\text{e}^b}{\text{e}^{-a}} \\ \Longrightarrow\boxed{\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}=\dfrac{\text{e}^b}{\text{e}^{-a}}}$

La réponse correcte est donc la proposition c.

${\textbf{Question 3. }}\mathbf{Affirmation\ a :\ }u_0=6\ \ \text{et}\ \ R=-\dfrac{1}{2}.$

Le terme général d'une suite arithmétique ($u_n$) de premier terme $u_0$ et de raison $R$ est donné par : $u_n=u_0+n\times R.$ Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}u_3=\dfrac{9}{2}\\u_6=3\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}u_0+3R=\dfrac{9}{2}\\u_0+6R=3\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}u_0=\dfrac{9}{2}-3R\\u_0=3-6R\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{9}{2}-3R=3-6R\\u_0=3-6R\end{matrix}\right. \\\\_\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}6R-3R=3-\dfrac{9}{2}\\u_0=3-6R\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}3R=-\dfrac{3}{2}\\u_0=3-6R\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\u_0=3-6R\end{matrix}\right. \\\\\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\u_0=3-6\times(-\dfrac{1}{2})\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\u_0=3+3\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\u_0=6\end{matrix}\right.}$

La réponse correcte est donc la proposition a.

${\textbf{Question 4. }}\mathbf{Affirmation\ c :\ }1275.$

La fonction range(51) génère une liste de 51 valeurs allant de 0 à 50.
Après exécution du programme, la valeur contenue dans la variable $s$ représente la somme $S$ des 51 premiers termes d'une suite arithmétique de raison $r = 1$ et dont le premier terme est 0.

$S=0+1+2+3+...+50 \\\Longrightarrow S= \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{1er terme} + \text{dernier terme}}{2} \\\phantom{\Longrightarrow S}=51\times \dfrac{0+50}{2} \\\phantom{\Longrightarrow S}=51\times 25=\boxed{1275}$

La réponse correcte est donc la proposition c.

${\textbf{Question 5. }}\mathbf{Affirmation\ b :\ }2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}.$

$S=1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}$
$S$ représente la somme de 16 termes d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme 1.

$\text{Dès lors }$

$S = \text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}$

$S= 1\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}}{1-\dfrac{1}{2}}$

$S= \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}}{\dfrac{1}{2}}$

$S= \dfrac{2}{1}\times\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}\right)$

$S= 2\times\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}\right)$

$S=2\times1-2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}=\boxed{2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}}$

La réponse correcte est donc la proposition b.