Soit la fonction f f f R \R R f ( x ) = ( x + 1 ) e x f(x)=(x+1)\text{e}^x f ( x ) = ( x + 1 ) e x
Question 1. A f f i r m a t i o n b : f ′ ( x ) = ( x + 2 ) e x . {\textbf{Question 1. }}\mathbf{Affirmation\ b :\ }f'(x)=(x+2)\ \text{e}^x. Question 1. Affirmation b : f ′ ( x ) = ( x + 2 ) e x .
f ′ ( x ) = ( x + 1 ) ′ × e x + ( x + 1 ) × ( e x ) ′ f ′ ( x ) = 1 × e x + ( x + 1 ) × e x f ′ ( x ) = ( 1 + x + 1 ) × e x f ′ ( x ) = ( x + 2 ) × e x D’o u ˋ f ′ ( x ) = ( x + 2 ) e x f'(x)=(x+1)'\times\text{e}^x+(x+1)\times(\text{e}^x)'\\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^x+(x+1)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(1+x+1)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(x+2)\times\text{e}^x \\\text{D'où }\ \ \boxed{f'(x)=(x+2)\,\text{e}^x } f ′ ( x ) = ( x + 1 ) ′ × e x + ( x + 1 ) × ( e x ) ′ f ′ ( x ) = 1 × e x + ( x + 1 ) × e x f ′ ( x ) = ( 1 + x + 1 ) × e x f ′ ( x ) = ( x + 2 ) × e x D’o u ˋ f ′ ( x ) = ( x + 2 ) e x
La réponse correcte est donc la proposition b.
Question 2. A f f i r m a t i o n c : e b e − a . {\textbf{Question 2. }}\mathbf{Affirmation\ c :\ }\dfrac{\text{e}^b}{\text{e}^{-a}}. Question 2. Affirmation c : e − a e b .
Pour tout réel m m m e − m = 1 e m ⟺ e − m × e m = 1 ⟺ e m = 1 e − m \boxed{\text{e}^{-m}=\dfrac{1}{\text{e}^m}}\Longleftrightarrow\text{e}^{-m}\times\text{e}^m=1\Longleftrightarrow\boxed{\text{e}^{m}=\dfrac{1}{\text{e}^{-m}}} e − m = e m 1 ⟺ e − m × e m = 1 ⟺ e m = e − m 1
D’o u ˋ e a e − b = e a × 1 e − b D’o u ˋ e a e − b = 1 e − a × e b D’o u ˋ e a e − b = e b e − a ⟹ e a e − b = e b e − a \text{D'où }\ \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}=\text{e}^a\times\dfrac{1}{\text{e}^{-b}} \\ \phantom{\text{D'où }\ \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}}=\dfrac{1}{\text{e}^{-a}}\times\text{e}^b \\ \phantom{\text{D'où }\ \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}}=\dfrac{\text{e}^b}{\text{e}^{-a}} \\ \Longrightarrow\boxed{\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}=\dfrac{\text{e}^b}{\text{e}^{-a}}} D’o u ˋ e − b e a = e a × e − b 1 D’o u ˋ e − b e a = e − a 1 × e b D’o u ˋ e − b e a = e − a e b ⟹ e − b e a = e − a e b
La réponse correcte est donc la proposition c.
Question 3. A f f i r m a t i o n a : u 0 = 6 et R = − 1 2 . {\textbf{Question 3. }}\mathbf{Affirmation\ a :\ }u_0=6\ \ \text{et}\ \ R=-\dfrac{1}{2}. Question 3. Affirmation a : u 0 = 6 et R = − 2 1 .
Le terme général d'une suite arithmétique (u n u_n u n u 0 u_0 u 0 R R R u n = u 0 + n × R . u_n=u_0+n\times R. u n = u 0 + n × R .
{ u 3 = 9 2 u 6 = 3 ⟺ { u 0 + 3 R = 9 2 u 0 + 6 R = 3 ⟺ { u 0 = 9 2 − 3 R u 0 = 3 − 6 R ⟺ { 9 2 − 3 R = 3 − 6 R u 0 = 3 − 6 R ⟺ { 6 R − 3 R = 3 − 9 2 u 0 = 3 − 6 R ⟺ { 3 R = − 3 2 u 0 = 3 − 6 R ⟺ { R = − 1 2 u 0 = 3 − 6 R ⟺ { R = − 1 2 u 0 = 3 − 6 × ( − 1 2 ) ⟺ { R = − 1 2 u 0 = 3 + 3 ⟺ { R = − 1 2 u 0 = 6 \left\lbrace\begin{matrix}u_3=\dfrac{9}{2}\\u_6=3\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}u_0+3R=\dfrac{9}{2}\\u_0+6R=3\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}u_0=\dfrac{9}{2}-3R\\u_0=3-6R\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{9}{2}-3R=3-6R\\u_0=3-6R\end{matrix}\right. \\\\_\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}6R-3R=3-\dfrac{9}{2}\\u_0=3-6R\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}3R=-\dfrac{3}{2}\\u_0=3-6R\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\u_0=3-6R\end{matrix}\right. \\\\\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\u_0=3-6\times(-\dfrac{1}{2})\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\u_0=3+3\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\u_0=6\end{matrix}\right.} { u 3 = 2 9 u 6 = 3 ⟺ { u 0 + 3 R = 2 9 u 0 + 6 R = 3 ⟺ { u 0 = 2 9 − 3 R u 0 = 3 − 6 R ⟺ { 2 9 − 3 R = 3 − 6 R u 0 = 3 − 6 R ⟺ { 6 R − 3 R = 3 − 2 9 u 0 = 3 − 6 R ⟺ { 3 R = − 2 3 u 0 = 3 − 6 R ⟺ { R = − 2 1 u 0 = 3 − 6 R ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ R = − 2 1 u 0 = 3 − 6 × ( − 2 1 ) ⟺ { R = − 2 1 u 0 = 3 + 3 ⟺ { R = − 2 1 u 0 = 6
La réponse correcte est donc la proposition a.
Question 4. A f f i r m a t i o n c : 1275. {\textbf{Question 4. }}\mathbf{Affirmation\ c :\ }1275. Question 4. Affirmation c : 1275.
La fonction range(51) génère une liste de 51 valeurs allant de 0 à 50.s s s S S S r = 1 r = 1 r = 1
S = 0 + 1 + 2 + 3 + . . . + 50 ⟹ S = nombre de termes × 1er terme + dernier terme 2 ⟹ S = 51 × 0 + 50 2 ⟹ S = 51 × 25 = 1275 S=0+1+2+3+...+50 \\\Longrightarrow S= \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{1er terme} + \text{dernier terme}}{2} \\\phantom{\Longrightarrow S}=51\times \dfrac{0+50}{2} \\\phantom{\Longrightarrow S}=51\times 25=\boxed{1275} S = 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 50 ⟹ S = nombre de termes × 2 1er terme + dernier terme ⟹ S = 51 × 2 0 + 50 ⟹ S = 51 × 25 = 1275
La réponse correcte est donc la proposition c.
Question 5. A f f i r m a t i o n b : 2 − ( 1 2 ) 15 . {\textbf{Question 5. }}\mathbf{Affirmation\ b :\ }2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}. Question 5. Affirmation b : 2 − ( 2 1 ) 15 .
S = 1 + 1 2 + ( 1 2 ) 2 + . . . + ( 1 2 ) 15 S=1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15} S = 1 + 2 1 + ( 2 1 ) 2 + ... + ( 2 1 ) 15 S S S 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1
D e ˋ s lors \text{Dès lors } D e ˋ s lors
S = premier terme × 1 − raison nombre de termes 1 − raison S = \text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} S = premier terme × 1 − raison 1 − raison nombre de termes
S = 1 × 1 − ( 1 2 ) 16 1 − 1 2 S= 1\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}}{1-\dfrac{1}{2}} S = 1 × 1 − 2 1 1 − ( 2 1 ) 16
S = 1 − ( 1 2 ) 16 1 2 S= \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}}{\dfrac{1}{2}} S = 2 1 1 − ( 2 1 ) 16
S = 2 1 × ( 1 − ( 1 2 ) 16 ) S= \dfrac{2}{1}\times\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}\right) S = 1 2 × ( 1 − ( 2 1 ) 16 )
S = 2 × ( 1 − ( 1 2 ) 16 ) S= 2\times\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}\right) S = 2 × ( 1 − ( 2 1 ) 16 )
S = 2 × 1 − 2 × ( 1 2 ) 16 = 2 − ( 1 2 ) 15 S=2\times1-2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}=\boxed{2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}} S = 2 × 1 − 2 × ( 2 1 ) 16 = 2 − ( 2 1 ) 15
La réponse correcte est donc la proposition b.
