Ensemble de définition d'une fonction et courbe représentative

I. Ensemble de définition d'une fonction

Soit $\mathcal{D}$, un ensemble de nombres réels.
Définir une fonction $f$ sur l'ensemble $\mathcal{D}{f}$, c'est associer à chaque réel $x$ de $\mathcal{D}{f}$ un unique réel $y$.
On note :
$\begin{array}{lccc}f : & \mathcal{D}_{f} & \rightarrow & \mathbb{R} \\& x & \mapsto & y=f(x)\end{array}$

$\mathcal{D}_{f}$ est l'ensemble de définition de la fonction $f$
$x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$
$y = f(x)$ est l'unique image de $x$ par la fonction $f$

Remarque : $x$ est une variable qu'on peut remplacer par une autre lettre : $t \mapsto f(t)$
Attention : $f(x)$ est un nombre, alors que $f$ est une fonction (une boîte noire).

II. Exemples

$1.$ On note la température d'une ville entre $8$h et $20$h. A chaque instant $t$ compris entre $[8 ; 20]$, on associe la température mesurée $f(t)$.
Ainsi s'il fait $10^°$C à $9$h, on note : $f(9) = 10$.
L'ensemble de définition de $f$ est $[8 \,;\, 20]$.

$2.$ Soit $g$ la fonction définie sur $[-4 \,;\, 7]$ par : $g(x) = 3x^2 + 2x -1$
L'ensemble de définition de $g$ est $[-4\, ;\, 7]$.
Au nombre $-2$, on associe le nombre : $3 \times (-2)² + 2 \times (-2) - 1 = 7$.
Ceci se note : $g(-2) = 7$.

$3.$ Soit $h$ la fonction définie par : $x \mapsto \dfrac{1}{x-3}$.
Dire que $\dfrac{1}{3}$ est l'image de $6$ par $h$ s'écrit : $h(6) = \dfrac{1}{3}$.
L'image de $3$ par $h$ n'existe pas.
L'ensemble de définition de $h$ est $\mathbb{R}\backslash\lbrace3\rbrace$.

III. Courbe représentative d'une fonction

Définition
Dans un plan muni d'un repère, la courbe représentative de la fonction $f$ est l'ensemble des points $\text{M} (x~;~y)$ tel que :
L'abscisse $x$ appartient à l'ensemble de définition de $f$ ;
L'ordonnée $y$ est l'image de $x$ par $f$ : $y = f(x)$.

Exemple : soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 2)^2 - 5$.

Courbe représentative de $f$ :

IV. Résolution graphique d'une équation

Soit à résoudre l'équation $f(x)=\dfrac 54$ (remarque $\dfrac 54=1,25$).

En s'appuyant sur la courbe représentative :

d'où l'ensemble solution $S=\{-0,5 \,; \,4,5\}$

A l'aide d'une résolution algébrique :

Supposons qu'il existe un réel $x$ vérifiant $f(x) = \dfrac{5}{4}$
D'où : $(x - 2)^2 - 5 = \dfrac{5}{4}$
$(x - 2)^2 = \dfrac{25}{4}$

$(x - 2)^2 - \dfrac{25}{4} = 0$

$\left(x - 2 - \dfrac{5}{2} \right) \left(x - 2 + \dfrac{5}{2} \right) = 0$

$x = \dfrac{9}{2} \text{ ou } x = -\dfrac{1}{2}$

Vérification : $f \left(\dfrac{9}{2} \right) = \dfrac{5}{4}$ et $f \left(-\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{5}{4}$.
S = $\left\lbrace -\dfrac{1}{2} \,;\, \dfrac{9}{2} \right\rbrace$