Suites arithmétiques et géométriques définies par récurrence

Exercice 1 – Suite arithmétique

On considère $u_0=5$ et pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=u_n+7$.

Question 1
$u_1=5+7=12$
$u_2=12+7=19$
$u_3=19+7=26$

Question 2
On conjecture $u_n=5+7n$.
Initialisation : pour $n=0$, $u_0=5=5+7\times 0$, la propriété est vraie.
Hérédité : supposons $u_n=5+7n$. Alors $u_{n+1}=u_n+7=(5+7n)+7=5+7(n+1)$.
Conclusion : par récurrence, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n=5+7n$.

Question 3
$S=u_0+u_1+\dots+u_{20}$ est une somme arithmétique de $21$ termes.
$u_{20}=5+7\times 20=145$
$S=\dfrac{21}{2}(u_0+u_{20})=\dfrac{21}{2}(5+145)=\dfrac{21}{2}\times 150=21\times 75=1575$

Exercice 2 – Suite géométrique

On considère $v_0=2$ et pour tout $n\in\mathbb N$, $v_{n+1}=3v_n$.

Question 1
$v_1=3\times 2=6$
$v_2=3\times 6=18$
$v_3=3\times 18=54$

Question 2
On reconnaît une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $2$.
Pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n=2\times 3^n$.

Question 3
Comme $3>1$, on a $3^n\to +\infty$ quand $n\to +\infty$, donc $v_n=2\times 3^n\to +\infty$.

Exercice 3 – Suite affine (ni arithmétique ni géométrique)

On considère $w_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb N$, $w_{n+1}=2w_n+3$.

Question 1
$w_1=2\times 1+3=5$
$w_2=2\times 5+3=13$
$w_3=2\times 13+3=29$

Question 2
Différences successives : $w_1-w_0=4$, $w_2-w_1=8$, $w_3-w_2=16$ (non constantes) donc pas arithmétique.
Rapports successifs : $\dfrac{w_1}{w_0}=5$, $\dfrac{w_2}{w_1}=\dfrac{13}{5}$, $\dfrac{w_3}{w_2}=\dfrac{29}{13}$ (non constants) donc pas géométrique.

Question 3
On cherche $c$ tel que $z_n=w_n+c$ soit géométrique.
On veut $z_{n+1}=2z_n$. Or $z_{n+1}=w_{n+1}+c=2w_n+3+c=2(w_n+c)- (2c-3)$.
On impose $2c-3=0$, donc $c=\dfrac{3}{2}$.
Plus simplement, on peut aussi utiliser le point fixe $w=-3$ de l’application $x\mapsto 2x+3$ : choisir $z_n=w_n+3$ donne directement $z_{n+1}=2z_n$.
On retient $z_n=w_n+3$ alors $z_{n+1}=w_{n+1}+3=2w_n+3+3=2(w_n+3)=2z_n$.

Question 4
$z_0=w_0+3=1+3=4$ et $z_{n+1}=2z_n$ donc $z_n=4\times 2^n=2^{n+2}$.
Ainsi $w_n=z_n-3=2^{n+2}-3$.