Entraînement

Droites parallèles, plan et sécantes.

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Énoncé

Exercice 1

Dans un repère orthonormé $(O,I,J,K)$ d’unité 1 cm, on considère les points $A(0;-1;5)$ , $B(2;-1;5)$ , $C(11;0;1)$ , $D(11;4;4)$ .

a. La droite $(AB)$ est parallèle à l’un des axes $(OI)$ , $(OJ)$ ou $(OK)$ . Lequel ?

b. La droite $(CD)$ se trouve dans un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l’un des plans $(OIJ)$ , $(OIK)$ ou $(OJK)$ . Lequel ?

c. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles sécantes ?

Exercice 2

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .
On considère :

les points $A(0;0;3)$ , $B(2;0;4)$ , $C(-1;1;2)$ et $D(1;-4;0)$
les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ définies par leurs systèmes d’équations paramétriques respectifs

$(\Delta <em>1)\left\lbrace\begin{matrix}&x=&-1+t\\y&=&-8+2t\\z&=&-10+5t\end{matrix}\right.\,;t\in\mathbb{R}$

$(\Delta2)\left\lbrace\begin{matrix}x&=&7+2t'\\y&=&8+4t'\\z&=&8-t'\end{matrix}\right.\,;t'\in\mathbb{R}$

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Une justification est attendue.

La droite $(\Delta_{1})$ contient
a) le point $A$
b) le point $B$
c) le point $C$
d) le point $D$
Position relative de $(\Delta_{1})$ et de $(\Delta_{2})$
a) $(\Delta_{1})$ est strictement parallèle à $(\Delta_{2})$
b) $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont confondues
c) $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont sécantes
d) $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont non coplanaires

Révéler le corrigé

Exercice 1

Dans un repère orthonormé $(O,I,J,K)$ d’unité 1 cm, on considère les points $A(0;-1;5)$ , $B(2;-1;5)$ , $C(11;0;1)$ , $D(11;4;4)$ .

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-0\\-1-(-1)\\5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}.$

Les coefficients directeurs de $(OI),(OJ),(OK)$ sont respectivement

$\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}$ $;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} ;\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

donc $(AB)$ est parallèle à l’axe des abscisses $(OI)$ .

b.
On a $x_C=x_D=11$ donc les points $C$ et $D$ ont la même abscisses. $(CD)$ est donc incluse dans un plan parallèle à $(OJK)$ .

c.
Un vecteur directeur de $(CD)$ est $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}x_D-x_C\\y_D-y_C\\z_D-z_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}.$

Donc une représentation paramétrique de $(CD)$ est :

$M(x,y,z)\in(CD)\Longleftrightarrow\exists t'\in\mathbb{R}\,;\left\lbrace\begin{matrix}x&=&11\\y&=&0+4t'=4t'\\z&=&1+3t'\end{matrix}\right.$

Ainsi, $M(x,y,z)\in(AB)\cap(CD)$ ssi il existe $t,t'\in\mathbb{R}$ tels que :

$\left\lbrace\begin{matrix}x&=&2t&(1)\\y&=&-1&(2)\\z&=&5&(3)\\x&=&11&(4)\\y&=&4t'&(5)\\z&=&1+3t'&(6)\end{matrix}\right.$

Les équations (2) et (5) imposent $t'=\dfrac{-1}{4}$ alors que les équations (3) et (6) imposent $t'=\dfrac{4}{3}$ .

Il n’y a donc pas de solution.

Ainsi $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas sécantes.

Exercice 2

On considère :

les points $A(0;0;3)$ , $B(2;0;4)$ , $C(-1;1;2)$ et $D(1;-4;0)$
les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ définies par leurs systèmes d’équations paramétriques respectifs

$(\Delta 1)\left\lbrace\begin{matrix}&x=&-1+t\\y&=&-8+2t\\z&=&-10+5t\end{matrix}\right.\,;t\in\mathbb{R}$

$(\Delta2)\left\lbrace\begin{matrix}x&=&7+2t'\\y&=&8+4t'\\z&=&8-t'\end{matrix}\right.\,;t'\in\mathbb{R}$

Réponse exacte d)
Avec $t=2$ dans les équations paramétriques de $(\Delta_{1})$ , on obtient les coordonnées du point $D$ .
Réponse exacte c)
On résout le système :
$\begin{cases}-1+t&=&7+2t'\\-8+2t&=&8+4t'\\-10+5t&=&8-t'\end{cases}$

$\Longleftrightarrow \begin{cases}t-2t'&=&8\\5t+t'&=&18\end{cases}\;\Longleftrightarrow\;\begin{cases}t&=&4\\t'&=&-2\end{cases}$ (solution unique).

Donc $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont sécantes.

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Droites parallèles et confondues dans l’espace : exercices corrigés pas à pas

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Intersection de plans

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a. La droite $(AB)$ est parallèle à l’un des axes $(OI)$ , $(OJ)$ ou $(OK)$ . Lequel ?

b. La droite $(CD)$ se trouve dans un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l’un des plans $(OIJ)$ , $(OIK)$ ou $(OJK)$ . Lequel ?

c. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles sécantes ?

Exercice 2

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .
On considère :

les points $A(0;0;3)$ , $B(2;0;4)$ , $C(-1;1;2)$ et $D(1;-4;0)$
les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ définies par leurs systèmes d’équations paramétriques respectifs

$(\Delta <em>1)\left\lbrace\begin{matrix}&x=&-1+t\\y&=&-8+2t\\z&=&-10+5t\end{matrix}\right.\,;t\in\mathbb{R}$

$(\Delta2)\left\lbrace\begin{matrix}x&=&7+2t'\\y&=&8+4t'\\z&=&8-t'\end{matrix}\right.\,;t'\in\mathbb{R}$

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Une justification est attendue.

La droite $(\Delta_{1})$ contient
a) le point $A$
b) le point $B$
c) le point $C$
d) le point $D$
Position relative de $(\Delta_{1})$ et de $(\Delta_{2})$
a) $(\Delta_{1})$ est strictement parallèle à $(\Delta_{2})$
b) $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont confondues
c) $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont sécantes
d) $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont non coplanaires

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Dans un repère orthonormé $(O,I,J,K)$ d’unité 1 cm, on considère les points $A(0;-1;5)$ , $B(2;-1;5)$ , $C(11;0;1)$ , $D(11;4;4)$ .

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-0\\-1-(-1)\\5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}.$

Les coefficients directeurs de $(OI),(OJ),(OK)$ sont respectivement

$\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}$ $;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} ;\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

donc $(AB)$ est parallèle à l’axe des abscisses $(OI)$ .

b.
On a $x_C=x_D=11$ donc les points $C$ et $D$ ont la même abscisses. $(CD)$ est donc incluse dans un plan parallèle à $(OJK)$ .

c.
Un vecteur directeur de $(CD)$ est $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}x_D-x_C\\y_D-y_C\\z_D-z_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}.$

Donc une représentation paramétrique de $(CD)$ est :

$M(x,y,z)\in(CD)\Longleftrightarrow\exists t'\in\mathbb{R}\,;\left\lbrace\begin{matrix}x&=&11\\y&=&0+4t'=4t'\\z&=&1+3t'\end{matrix}\right.$

Ainsi, $M(x,y,z)\in(AB)\cap(CD)$ ssi il existe $t,t'\in\mathbb{R}$ tels que :

$\left\lbrace\begin{matrix}x&=&2t&(1)\\y&=&-1&(2)\\z&=&5&(3)\\x&=&11&(4)\\y&=&4t'&(5)\\z&=&1+3t'&(6)\end{matrix}\right.$

Les équations (2) et (5) imposent $t'=\dfrac{-1}{4}$ alors que les équations (3) et (6) imposent $t'=\dfrac{4}{3}$ .

Il n’y a donc pas de solution.

Ainsi $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas sécantes.

Exercice 2

On considère :

les points $A(0;0;3)$ , $B(2;0;4)$ , $C(-1;1;2)$ et $D(1;-4;0)$
les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ définies par leurs systèmes d’équations paramétriques respectifs

$(\Delta 1)\left\lbrace\begin{matrix}&x=&-1+t\\y&=&-8+2t\\z&=&-10+5t\end{matrix}\right.\,;t\in\mathbb{R}$

$(\Delta2)\left\lbrace\begin{matrix}x&=&7+2t'\\y&=&8+4t'\\z&=&8-t'\end{matrix}\right.\,;t'\in\mathbb{R}$

Réponse exacte d)
Avec $t=2$ dans les équations paramétriques de $(\Delta_{1})$ , on obtient les coordonnées du point $D$ .
Réponse exacte c)
On résout le système :
$\begin{cases}-1+t&=&7+2t'\\-8+2t&=&8+4t'\\-10+5t&=&8-t'\end{cases}$

$\Longleftrightarrow \begin{cases}t-2t'&=&8\\5t+t'&=&18\end{cases}\;\Longleftrightarrow\;\begin{cases}t&=&4\\t'&=&-2\end{cases}$ (solution unique).

Donc $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont sécantes.

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