Défi

Intersection de plans

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Énoncé

Vrai ou faux ?

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exemple. Rappel des notations :
$\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2}$ désigne l’ensemble des points communs aux plans $\mathscr{P}{1}$ et $\mathscr{P}{2}$ .
L’écriture $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} = \emptyset$ signifie que les plans $\mathscr{P}{1}$ et $\mathscr{P}{2}$ n’ont aucun point commun.

Si $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}{3} \neq \emptyset$ , alors on peut conclure que $\mathscr{P}{1} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ vérifient : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset$ .
Si $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}{3} = \emptyset$ , alors on peut conclure que $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont tels que : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} = \emptyset$ et $\mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset$ .
Si $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{3} = \emptyset$ alors on peut conclure que $\mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ vérifient : $\mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset$ .
Si $\mathscr{P}{1}$ et $\mathscr{P}{2}$ sont deux plans distincts et $\mathscr{D}$ une droite de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} = \emptyset$ , alors on peut conclure que $\mathscr{P}{2} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset$ .

Révéler le corrigé

1. Si $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}{3} \neq \emptyset$ , alors on peut conclure que $\mathscr{P}{1} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ vérifient : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset$ .

FAUX
Si les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_3$ sont parallèles non confondus, et $\mathscr{P}_2$ non parallèle à ces plans, on a alors :
$\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \neq \emptyset$ et $\mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset$ mais $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset$ .

2. Si $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}{3} = \emptyset$ , alors on peut conclure que $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont tels que : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} = \emptyset$ et $\mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset$ .

FAUX
Si les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont parallèles non confondus, et $\mathscr{P}_3$ non parallèle à ces plans, on a alors :

$\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ parallèles non confondus donc $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 = \emptyset$ et a fortiori $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset$
$\mathscr{P}_2$ et $\mathscr{P}_3$ ne sont pas parallèles, donc $\mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset$ .

On a donc à la fois :
$\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset$ , $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 = \emptyset$ et $\mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset$ .

3. Si $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{3} = \emptyset$ alors on peut conclure que $\mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ vérifient : $\mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset$ .

VRAI

$\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \neq \emptyset$ donc $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont sécants.
$\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset$ donc $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_3$ sont parallèles.
Un plan sécant à un plan est sécant à tous les plans parallèles à ce plan, donc $\mathscr{P}_2$ et $\mathscr{P}_3$ sont sécants, et $\mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset$ .

4. Si $\mathscr{P}{1}$ et $\mathscr{P}{2}$ sont deux plans distincts et $\mathscr{D}$ une droite de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} = \emptyset$ , alors on peut conclure que $\mathscr{P}{2} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset$ .

FAUX
Si les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont parallèles non confondus, et la droite $\mathscr{D}$ est contenue dans $\mathscr{P}_1$ , on a alors :
$\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 = \emptyset$ , $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{D} \neq \emptyset$ et $\mathscr{P}_2 \cap \mathscr{D} = \emptyset$ .

Exercice précédent

Droites parallèles, plan et sécantes.