Intersection de plans

1. Si $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}{3} \neq \emptyset$, alors on peut conclure que $\mathscr{P}{1} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ vérifient : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset$.

FAUX
Si les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_3$ sont parallèles non confondus, et $\mathscr{P}_2$ non parallèle à ces plans, on a alors :
$\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \neq \emptyset$ et $\mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset$ mais $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset$.

2. Si $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}{3} = \emptyset$, alors on peut conclure que $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont tels que : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} = \emptyset$ et $\mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset$.

FAUX
Si les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont parallèles non confondus, et $\mathscr{P}_3$ non parallèle à ces plans, on a alors :

• $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ parallèles non confondus donc $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 = \emptyset$ et a fortiori $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset$

• $\mathscr{P}_2$ et $\mathscr{P}_3$ ne sont pas parallèles, donc $\mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset$.

On a donc à la fois :
$\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset$, $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 = \emptyset$ et $\mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset$.

3. Si $\mathscr{P}{1}\,, \mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{3} = \emptyset$ alors on peut conclure que $\mathscr{P}{2} \text{ et } \mathscr{P}{3}$ vérifient : $\mathscr{P}{2} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset$.

VRAI

• $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \neq \emptyset$ donc $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont sécants.

• $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset$ donc $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_3$ sont parallèles.

• Un plan sécant à un plan est sécant à tous les plans parallèles à ce plan, donc $\mathscr{P}_2$ et $\mathscr{P}_3$ sont sécants, et $\mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset$.

4. Si $\mathscr{P}{1}$ et $\mathscr{P}{2}$ sont deux plans distincts et $\mathscr{D}$ une droite de l’espace vérifiant : $\mathscr{P}{1} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}{1} \cap \mathscr{P}{2} = \emptyset$, alors on peut conclure que $\mathscr{P}{2} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset$.

FAUX
Si les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont parallèles non confondus, et la droite $\mathscr{D}$ est contenue dans $\mathscr{P}_1$, on a alors :
$\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 = \emptyset$, $\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{D} \neq \emptyset$ et $\mathscr{P}_2 \cap \mathscr{D} = \emptyset$.