Des interprétations géométriques pour gagner du temps

Exercice 1

On note $A$ le point d’affixe $1+2i$ et $B$ le point d’affixe $7-2i$. La condition $|z-1-2i|=|z-7+2i|$ équivaut à $MA=MB$. Par définition, l’ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

Pour obtenir l’équation sans passer par le milieu, on part de l’égalité des distances au carré. En posant $z=x+iy$, on a $MA^2=(x-1)^2+(y-2)^2$ et $MB^2=(x-7)^2+(y+2)^2$. L’égalité $MA^2=MB^2$ donne, après développement et simplification, $12x-8y=48$, soit $3x-2y=12$.

Exercice 2

1. On a vu en cours que $|z|=OM$
   $M(z)\in E$ équivaut à dire $|z|=2$ équivaut à dire $OM=2$
   L'ensemble E est le cercle de centre 0 et de rayon 2.

2. On a vu en cours qu'un argument de complexe n'est défini que pour un complexe non nul, et que $arg(z)=mes\widehat{(\overrightarrow {u}\;, \overrightarrow{OM})} \;;(2\pi)$
   $M(z) \in F$ équivaut à dire " $z\neq 0$ et $mes\widehat{(\overrightarrow {u} \;, \overrightarrow{OM})}=\dfrac{\pi}{2}\;; (\pi)$ "
   L'ensemble cherché est la droite passant par O, perpendiculaire au vecteur $\vec u$ privée du point $O$.
   L'ensemble F est donc l'axe des imaginaires purs privé de l'origine du repère.

3. On a vu en cours que si $A(z_A)$ et $B(z_B)$ sont deux points du plan, $|z_A-z_B|=AB$.
   $M(z) \in G$ équivaut à dire $|z-i|=3$
   On introduit le point D d'affixe i.
   Dire que $|z-i|=3$ revient à dire que $DM=3$.
   On obtient : $M(z) \in G$ équivaut à dire $|z-i|=3$ équivaut à dire $DM=3$
   L'ensemble G cherché est le cercle de centre D(i) et de rayon 3.

4. On cherche l'ensemble H des points M(z) tels que $arg(z-2+3i )= \dfrac{\pi}{4}\;; (2\pi)$.
   Cette définition impose que $z\neq 2-3i$.
   Appelons K le point d'affixe $2-3i$.
   $M(z)\in H$ équivaut à dire " $z\neq 2-3i$ et $mes\widehat{(\overrightarrow {u} \;, \overrightarrow{KM})}=\dfrac{\pi}{4}\;; (2\pi)$ "
   L'ensemble H est la demi-droite ]Kt) (le point K exclu) faisant un angle de $\dfrac{\pi}{4}$ avec $\vec u$.

Exercice 3

1) $Z$ imaginaire pur équivaut à $\Big(Z=0 \ \ \text{ou}\ \ \text{arg}(Z)=\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]\Big)$

Donc $\dfrac{z+1}{z-i}\in i\mathbb{R}\ \Longleftrightarrow\ \Big(z=-1\ \ \text{ou}\ \ \text{arg}\left(\dfrac{z+1}{z-i}\right)=\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]\Big)$

En appelant M le point d'affixe $z$, et A et B les points d'affixes respectives $i$ et $-1$, on obtient alors :

$\dfrac{z+1}{z-i}\in i\mathbb{R}\ \Longleftrightarrow\ \Big(M=B\ \ \text{ou}\ \ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})=\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]\Big)$

Donc l'ensemble cherché est le cercle de diamètre [AB] privé de A.

2) De même, $Z$ réel équivaut à $\Big(Z=0 \ \ \text{ou}\ \ \text{arg}(Z)=0\ [\pi]\Big)$

Donc $\dfrac{z+1}{z-i}\in\mathbb{R}\ \Longleftrightarrow\ \Big(z=-1\ \ \text{ou}\ \ \text{arg}\left(\dfrac{z+1}{z-i}\right)=0\ [\pi]\Big)$

D'où $\dfrac{z+1}{z-i}\in\mathbb{R}\ \Longleftrightarrow\ \Big(M=B\ \ \text{ou}\ \ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})=0\ [\pi]\Big)$

On obtient la droite (AB) privée de A.