Racines n-ièmes de l'unité (2)

Exercice 1

1. Preuve par la somme géométrique
   Posons $q=e^{2i\pi/n}$. Alors $q\ne 1$ (car $0<2\pi/n<2\pi$ pour $n\ge2$) et $q^n=e^{2i\pi}=1$.
   Considérons
   $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} q^k=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}.$
   Calculons $(1-q)S$ :
   $(1-q)S=(1-q)(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1})=1-q^n.$
   Comme $q\ne 1$ et $q^n=1$, on obtient
   $(1-q)S=1-1=0 \ \Rightarrow\ S=0.$
   Donc $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} e^{2ik\pi/n}=0.$

2. Vérification explicite pour $n=3$
   Les racines sont $1$, $e^{2i\pi/3}$ et $e^{4i\pi/3}$.
   On sait $e^{2i\pi/3}=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$,
   $e^{4i\pi/3}=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}.$
   Somme :
   $1+\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)+\left(-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)=1-\frac12-\frac12+0=0.$

3. Vérification explicite pour $n=4$
   Les racines sont $1$, $i$, $-1$, $-i$.
   Somme :
   $1+i-1-i=0.$

👉 Remarque utile
En séparant parties réelle et imaginaire,
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}=0 \quad \text{et} \quad \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}{n}=0.$

Exercice 2

1. Factorisation
   $p(z)=z^{7}+z^{4}+z^{3}+1=(z^{7}+z^{3})+(z^{4}+1)=z^{3}(z^{4}+1)+(z^{4}+1)=(z^{4}+1)(z^{3}+1).$

2. Racines sous forme exponentielle
   a) $z^{4}+1=0 \ \Longleftrightarrow\ z^{4}=-1=e^{i(\pi+2k\pi)}.$
   Les 4 racines sont
   $z=e^{i\left(\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\right)},\ k=0,1,2,3,$
   c’est-à-dire
   $e^{i\frac{\pi}{4}},\ e^{i\frac{3\pi}{4}},\ e^{i\frac{5\pi}{4}},\ e^{i\frac{7\pi}{4}}.$

b) $z^{3}+1=0 \ \Longleftrightarrow\ z^{3}=-1=e^{i(\pi+2k\pi)}.$
Les 3 racines sont
$z=e^{i\left(\frac{\pi}{3}+k\frac{2\pi}{3}\right)},\ k=0,1,2,$
c’est-à-dire
$e^{i\frac{\pi}{3}},\ e^{i\pi},\ e^{i\frac{5\pi}{3}}.$

3. Formes trigonométrique et algébrique
   a) Racines de $z^{4}+1=0$
   $e^{i\frac{\pi}{4}}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.$
   $e^{i\frac{3\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.$
   $e^{i\frac{5\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}.$
   $e^{i\frac{7\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}.$

b) Racines de $z^{3}+1=0$
$e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.$
$e^{i\pi}=-1.$
$e^{i\frac{5\pi}{3}}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

4. Arguments et multiplicités
   Pour $z^{4}+1=0$ : arguments $\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$ (mod $2\pi$), toutes de multiplicité 1.
   Pour $z^{3}+1=0$ : arguments $\frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{5\pi}{3}$ (mod $2\pi$), toutes de multiplicité 1.

5. Comptage
   On obtient $4+3=7$ racines simples, ce qui correspond bien au degré de $p(z)$.

Vérification rapide (optionnelle)
Produit constant des racines (avec multiplicité) $=\ (-1)^{7}\cdot\text{terme constant}= -1\cdot 1=-1.$
Or le produit des racines de $(z^{4}+1)$ vaut $1$ (car $z^{4}+1$ est de degré 4, coefficient directeur $1$, terme constant $1$) et le produit des racines de $(z^{3}+1)$ vaut $-1$ (degré 3, coefficient directeur $1$, terme constant $1$ et signe $(-1)^3$).
Donc produit total $=1\cdot(-1)=-1$, cohérent.

Conclusion
Les racines de $p$ sont
$e^{i\frac{\pi}{4}},\ e^{i\frac{3\pi}{4}},\ e^{i\frac{5\pi}{4}},\ e^{i\frac{7\pi}{4}},\ e^{i\frac{\pi}{3}},\ e^{i\pi},\ e^{i\frac{5\pi}{3}}$