Des inéquations du second degré avec des tableaux de signes

Exercice 1

1. Résoudre $(x+1)(x-2)>5(x+1)^2$.
   Étape 1. Tout regrouper à gauche : $(x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0$.
   Étape 2. Factoriser par $(x+1)$ : $(x+1)\bigl[(x-2)-5(x+1)\bigr]>0$.
   Étape 3. Simplifier : $(x+1)\bigl[x-2-5x-5\bigr]=(x+1)\bigl(-4x-7\bigr)>0$.
   Étape 4. Multiplier par $-1$ (strictement négatif) inverse l’inégalité : $(x+1)(4x+7)<0$.
   Étape 5. Zéros : $x=-1$ et $x=-\dfrac{7}{4}$.

   👉 Conseil. Attention à bien ranger du plus petit au plus grand les valeurs $-\dfrac 74$ et $-1$ qui annulent le produit.

   $\begin{matrix}\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&-\frac 74&&-1&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline x+1&&-&-&-&0&+&\\ 4x+7&&-&0&+&+&+&\\ &&&&&&&\\ \hline (x+1)(4x+7)&&+&0&-&0&+&\\ &&&&&&&\\ \hline \end{array} \end{matrix}$
   Conclusion. Produit $<0$ $\Rightarrow$ entre les racines (ouvert) : $S=\left]-\dfrac{7}{4}\,;-1\right[$.
   👉 Conseil. Quand tu multiplies par un nombre négatif, pense à inverser le sens de l’inégalité.

2. Résoudre $(x^2-x)(2x+1)\ge 0$.
   Étape 1. Factoriser $x^2-x=x(x-1)$ : $x(x-1)(2x+1)\ge 0$.
   Étape 2. Zéros : $x=-\dfrac{1}{2}\,,0\,,1$.
   Étape 3. Étude de signes
   • $x> 0$ pour $x> 0$ (évident !)
   • $x-1 > 0$ pour $x > 1$
   • $2x+1 > 0$ pour $x > -\dfrac 12$
   👉 Conseil. On remplit le tableau avec les signes démontrés.

   $\begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&\\ x&-\infty&&-\tfrac12&&0&&1&&+\infty\\ &&&&&&&&\\ \hline x&&-&-&-&0&+&+&+&\\ x-1&&-&-&-&-&-&0&+&\\ 2x+1&&-&0&+&+&+&+&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline x(x-1)(2x+1)&&-&0&+&0&-&0&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

   Et la solution de $x(x-1)(2x+1)\ge 0$ (lecture du tableau) est : $S=\left[-\dfrac{1}{2}\,;\,0\right]\cup\,[1\,;\,+\infty[$

Exercice 2

1. Rappel. Résoudre $\dfrac{x^2+x-2}{x-9}\le 0$.
   Étape 1. Factoriser le numérateur : $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$.
   Étape 2. Points critiques : $x=-2\,,1$ (zéros), et $x=9$ (interdit).
   Étape 3. Tableau de signe (dans l’ordre $-2<1<9$) après avoir démontré ligne par ligne les signes de tes facteurs.
   
   Tableau de signes :

   $\begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&\\ x&-\infty&&-2&&1&&9&&+\infty\\ &&&&&&&&\\ \hline x+2&&-&0&+&+&+&+&+&\\ x-1&&-&-&-&0&+&+&+&\\ x-9&&-&-&-&-&-&0&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline \dfrac{(x+2)(x-1)}{x-9}&&-&0&+&0&-&\text{||}&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

   
   Conclusion. $S=\,]-\infty\,;-2]\cup[1\,;9[\$.

   👉 Conseil. N’oublie pas d’exclure $x=9$ (dénominateur nul), que l'on signale dans le tableau par une double barre et dans l'ensemble solution par une borne ouverte.

2. Rappel. Résoudre $\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{4}{x-2}\le 0$.
   Étape 1. Mettre au même dénominateur : $\dfrac{2(x-2)+4(x-3)}{(x-3)(x-2)}=\dfrac{6x-16}{(x-3)(x-2)}=\dfrac{2(3x-8)}{(x-3)(x-2)}$.
   Étape 2. Points critiques : $x=2\,,\dfrac{8}{3}\,,3$.
   Étape 3. Étude de signe (ordre $2<\dfrac{8}{3}<3$) :
   👉 Les valeurs $2$ et $3$ sont des valeurs interdites pour le quotient (le dénominateur serait nul).

   $\begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&\\ x&-\infty&&2&&\tfrac{8}{3}&&3&&+\infty\\ &&&&&&&&\\ \hline 3x-8&&-&-&-&0&+&+&+&\\ x-3&&-&-&-&-&-&0&+&\\ x-2&&-&0&+&+&+&+&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline \dfrac{2(3x-8)}{(x-3)(x-2)}&&-&\text{||}&+&0&-&\text{||}&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. 
   Conclusion. $S=]-\infty\,;2[\ \cup\ \left[\dfrac{8}{3}\,;\,3\right[\$.
   👉 Conseil. Réduis d’abord la somme en une seule fraction, puis fais le tableau.

Exercice 3

1. Rappel. Résoudre le système $\left\lbrace\begin{aligned} -x^2+x+2& > &0\\ -4x+3&\le & 0 \end{aligned}\right.$ .

   Étape 1. Première inégalité : $-x^2+x+2>0 \iff x^2-x-2<0 \iff (x-2)(x+1)<0 \Rightarrow x\in ]-1\,;2[$ .
   Étape 2. Seconde : $-4x+3\le 0 \iff x\ge \dfrac{3}{4}$.
   Conclusion. Intersection : $S=\left[\dfrac{3}{4}\,;\,2\right[$.
   Conseil. Résous chaque contrainte séparément puis croise les intervalles.

2. Rappel. Résoudre le système $\left\lbrace\begin{aligned} -x^2+x+1&>0\\ -2x+5&<0 \end{aligned}\right.$.
   Étape 1. Première inégalité : $-x^2+x+1>0 \iff x^2-x-1<0$.
   Étape 2. Compléter le carré : $x^2-x-1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}$.
   Étape 3. $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}<0 \iff \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2<\dfrac{5}{4} \iff \left|x-\dfrac{1}{2}\right|<\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
   Donc $x\in\left]\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\,;\,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\,\right[ \,=\,\left]\,\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\,;\,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\,\right[\approx ]-0{,}618\,;\,1{,}618[$.
   Étape 4. Seconde inégalité : $-2x+5<0 \iff x>\dfrac{5}{2}=2{,}5$.
   Conclusion. Aucune intersection $\Rightarrow S=\varnothing$.
   👉Conseil. Compléter le carré évite le discriminant et donne un intervalle centré.

Exercice 4

1. Rappel. Résoudre $(x+2)(x-1)(2x+1)\ge 0$.
   Étape 1. Zéros : $x=-2\,,-\dfrac{1}{2}\,,1$.
   Étape 2. Étude de signe de chaque facteur

   $\begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&\\ x&-\infty&&-2&&- \tfrac12&&1&&+\infty\\ &&&&&&&&\\ \hline x+2&&-&0&+&+&+&+&+&\\ x-1&&-&-&-&-&-&0&+&\\ 2x+1&&-&-&0&+&+&+&+&\\ &&&&&&&&\\\hline (x+2)(x-1)(2x+1)&&-&0&+&0&-&0&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

   Lecture de signe (si besoin) : solution de $(x+2)(x-1)(2x+1)\ge 0$
   Conclusion. $S=\left[-2\,;\,-\dfrac{1}{2}\right]\cup[1\,;\,+\infty[$.
   👉 Conseil. Avec trois facteurs, garde un œil sur l’alternance des signes.

2. Rappel. Résoudre $(x-4)(x+4)\le 0$.
   Étape 1. Racines $-4$ et $4$ ; produit $\le 0$ entre elles.

   $\begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&\\ x&-\infty&&-4&&4&&+\infty\\ &&&&&&&&\\ \hline x-4&&-&-&-&0&+&+&+&\\ x+4&&-&0&+&+&+&+&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline (x-4)(x+4)&&+&0&-&0&+& & &\\ &&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$
   Conclusion. $S=[-4\,;4]$.
   👉 Conseil. C’est l’inéquation type de la “fenêtre” entre deux bornes.

Exercice 5

1. Rappel. Déterminer le signe de $f_1(x)=8\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2$.
   Étape 1. Un carré est $\ge 0$ ; coefficient $8>0$.
   Conclusion. $f_1(x)\ge 0$ pour tout $x$ et $f_1(x)=0 \iff x=-\dfrac{1}{2}$.
   👉 Conseil. Un coefficient positif devant un carré conserve la positivité.

2. Rappel. Déterminer le signe de $f_2(x)=(2x-1)(x-2)$.
   Étape 1. Zéros : $x=\dfrac{1}{2}$ et $x=2$.
   Étape 2. Signe
   $\begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&\\ x&-\infty&&\tfrac12&&2&&+\infty\\ &&&&&&\\ \hline 2x-1&&-&0&+&+&+&\\ x-2&&-&-&-&0&+&\\ &&&&&&\\ \hline (2x-1)(x-2)&&+&0&-&0&+&\\ &&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

   
   Conclusion. $f_2\ge 0$ sur $]-\infty\,;\dfrac{1}{2}] \cup [2\,;\,+\infty[$ et $f_2\le 0$ sur $\left[\dfrac{1}{2}\,;2\right]$.
   👉Conseil. Produit de deux termes : “même signe $\Rightarrow$ plus, signes opposés $\Rightarrow$ moins”.

3. Rappel. Déterminer le signe de $f_3(x)=-(x+5)(x-2)$.
   Étape 1. Sans le signe “$-$”, ce serait le signe de $(x+5)(x-2)$.
   Étape 2. Zéros : $x=-5$ et $x=2$.

   $\begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&\\ x&-\infty&&-5&&2&&+\infty\\ &&&&&&\\ \hline x+5&&-&0&+&+&+&\\ x-2&&-&-&-&0&+&\\ -&&-&-&-&-&-&\\ &&&&&&\\ \hline -(x+5)(x-2)&&-&0&+&0&-&\\ &&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

   
   👉 Le “$-$” devant inverse tous les signes.
   Conclusion. $f_3\le 0$ sur $]-\infty\,;-5]\cup[2\,;\,+\infty[$ et $f_3\ge 0$ sur $[-5\,;2]$.