Racines et signe d'un polynôme de degré 2

I. Forme factorisée d’un polynôme du second degré

Un polynôme du second degré peut parfois s’écrire sous la forme : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

où :

• $a$ est un réel non nul ($a \neq 0$),

• $x_1$ et $x_2$ sont les racines du polynôme, c’est-à-dire les solutions de l’équation $f(x) = 0$,

• si $x_1 = x_2$, la forme factorisée devient $f(x) = a(x - x_0)^2$

II. Déterminer les racines

Les racines sont les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 0$.

$f(x) = 0$ équivaut à $(x - x_1)(x - x_2) = 0$

Donc :

$f(x) = 0$ si $x = x_1$ ou $x = x_2$

Ces deux valeurs sont les abscisses des points d’intersection entre la courbe de $f$ et l’axe des abscisses.

III. Étude du signe de $f(x)$

Pour étudier le signe de $f(x)$, on utilise un tableau de signes en tenant compte :

• de la position des racines $x_1$ et $x_2$,

• du coefficient $a$ (positif ou négatif).

Cas où $x_1 \lt x_2$

On étudie le signe de chacun des facteurs $x - x_1$ et $x - x_2$ sur les intervalles définis par les racines.

Le signe du produit $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ dépend de :

• $x$ par rapport à $x_1$ et $x_2$

• et du signe de $a$

Exemple de tableau de signes pour $a > 0$ :

Si $a < 0$, on multiplie la dernière ligne par $-1$.

Si $a < 0$, on multiplie toute la ligne du produit par $-1$.

IV. Exemple d'application

Étudier le signe de la fonction $f$ définie par :

$f(x) = 2(x - 1)(x + 3)$

Étape 1 : Déterminer les racines

On résout $f(x) = 0$ :

$2(x - 1)(x + 3) = 0$ équivaut à $x = 1$ ou $x = -3$

On range les racines dans l’ordre croissant : $-3 \lt 1$

Étape 2 : Étudier les signes

On construit le tableau de signes :

Conclusion : $f(x)$ est positif à l’extérieur des racines et négatif entre les racines (car $a > 0$).

V. Cas particulier : racine double

Si $f(x) = a(x - x_0)^2$, alors $f(x)$ a une racine double $x_0$.

• $f(x_0) = 0$

• $f(x)$ a le même signe que $a$ pour tout $x \neq x_0$

Exemple

$f(x) = -3(x + 2)^2$

Racine double : $x = -2$

Signe de $f(x)$ : $f(x) \leq 0$ pour tout $x$, nul uniquement en $x = -2$

VI. À retenir

Si j'appelle $P(x)$ un polynôme du second degré.

• Deux racines distinctes $\Rightarrow$ changement de signe entre les racines, et du signe de "$a$" à l'extérieur des racines.

• Racine double $\Rightarrow$ le signe ne change pas, mais $f(x)$ s’annule une seule fois.