Factoriser un polynôme du second degré

Soit le trinôme P tel que $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$

Si le trinôme P admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement confondues), alors :

pour tout réel $x$, $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Remarque : Tous les trinômes ne sont pas factorisables ; pour être factorisable, un polynôme du second degré doit admettre 1 racine double ou 2 racines distinctes.

Plusieurs outils sont disponibles pour essayer de factoriser un trinôme.

👉 Rappels : les identités remarquables

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

I. Outils usuels de la factorisation

$•$ Reconnaître une identité remarquable : la factorisation est alors immédiate

Exemple : $g(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2$
$h(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$

$•$ Cas du coefficient constant nul : mise en évidence de facteurs communs

Exemple : $f(x)=2x^2-4x\quad a=2\quad b=-4\quad c=0$
$f(x)=2x(x-2)$

$•$ Cas du coefficient de $x$ nul

Exemple :
$j(x)=5x^2+20\quad a=5 \quad b=0 \quad c=20$
$j(x)=5(x^2+4)$.

Pour cet exemple, on ne peut pas factoriser davantage car $x^2+4$ n'admet pas de racine réelle.

$•$ Dédoublement d'un terme puis regroupement

Exemple :
$k(x)=x^2-3x+2$

$\phantom{k(x)}=x^2-2x-x+2$

$\phantom{k(x)}=(x^2-x)-2x+2$

$\phantom{k(x)}=x(x-1)-2(x-1)$

$\phantom{k(x)}=(x-1)(x-2)$

TESTE-TOI
Factoriser le plus possible
a. $f(x) = 5x^2 - 30x + 45$
b. $g(x) = 7x^2 - 28$
c. $h(x) = -8x^2 + 7x + 1$

Corrige-toi
a. $f(x) = 5x^2 - 30x + 45$

$\phantom{a.~f(x)}= 5(x^2-6x+9)$

$\phantom{a.~f(x)}= 5(x-3)^2$

b. $g(x) = 7x^2 - 28$

$\phantom{a.~f(x)}= 7(x^2-4)$

$\phantom{a.~f(x)}= 7(x-2)(x+2)$

c. $h(x) = -8x^2 + 7x + 1$

$\phantom{a.~f(x)}= -8x^2 + 8x - x + 1$

$\phantom{a.~f(x)}= 8x(-x+1) - x + 1$

$\phantom{a.~f(x)}= 8x(1-x) + (1-x)$

$\phantom{a.~f(x)}= (1-x)(8x+1)$

II. À partir d'une racine évidente

👉 Rappel
Si $\alpha$ est racine de $P$, alors on peut factoriser $P$ par $(x-\alpha)$
Réciproquement : si on peut factoriser $P$ par $(x-\alpha)$ alors $\alpha$ est racine de $P$

Exemple 1 :

$f(x)=x^2+6x-7$
1 est racine évidente car $f(1)=0$, et ce n'est pas une racine double (sinon, on reconnaîtrait une identité remarquable)

$f(x)$ est donc factorisable par $(x-1)$, soit $f(x)=(x-1)(x-x_2)$ où $x_2$ est la seconde racine.
On développe : $f(x)=x^2-(1+x_2)x+x_2$
Par identification, on trouve $x_2=-7$
Ainsi, $f(x)=(x-1)(x+7)$ est la forme factorisée de $f(x)$ ; 1 et -7 sont les deux racines.

Exemple 2 :

$P(x)=x^2+2x-3$ Appliquons une autre méthode.
Par calcul mental, on remarque que $P(1)=1^2+2\times 1-3=0$ , 1 est donc racine de $P$.

On peut donc écrire que $P(x)=P(x)-P(1)$

TESTE-TOI
Vérifier que -1 est racine évidente de $j(x) = 7x^2+15x+8$, puis factoriser
a. par identification
b. par calcul de $P(x) - P(-1)$

Corrige-toi
$j(x) = -7x^2+28x+35$ fonction trinôme avec $a=-7\quad b=28 \quad c=35$
$j(-1) = -7\times(-1)^2+28\times(-1)+35$

$\phantom{j(-1)}= -7-28+35=0$

donc -1 est bien une racine de $j$
$\longrightarrow$ Remarque : -1 n'est pas racine double, puisque $-7x^2+28x+35$ n'est pas de la forme $(a+b)^2$
Le polynôme $j$ admet donc une seconde racine, à déterminer.

a. Rappel : la forme factorisée d'un trinôme est $a(x-x_1)(x-x_2)$
or $j(x) = -7x^2+28x+35 = -7(x^2-4x-5)$
et $j(x) = 7(x-(-1))(x-x_2) = 7(x+1)(x-x_2)$ ; déterminons $x_2$ par identification
on développe, réduit et ordonne $(x+1)(x-x_2) = x^2 + (-x_2 + 1)x - x_2$
par identification des coefficients, on établit et résout le système :

et on trouve $x_2 = 5$
d'où l'on conclut une factorisation $j(x) = -7(x+1)(x-5)$

b. Puisque $j(-1) = 0$, on peut écrire :