Dérivation et composée (1)

Exercice n°1 – Fonctions simples

1. Soit $f(x)=(3x+2)^4$. On pose $u(x)=3x+2$. Alors $f(x)=u(x)^4$ et $u'(x)=3$.
   $f'(x)=4u^3\cdot u'=4(3x+2)^3\cdot 3=12(3x+2)^3$.

2. Soit $g(x)=\sqrt{5x-1}=(5x-1)^{\tfrac12}$. On pose $u(x)=5x-1$, $u'(x)=5$.
   $g'(x)=\dfrac{1}{2}u^{-\tfrac12}\cdot u'=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5x-1}}\cdot 5=\dfrac{5}{2\sqrt{5x-1}}$ avec condition $5x-1>0$, soit $x>\dfrac{1}{5}$.

3. Soit $h(x)=\dfrac{1}{2x+3}=(2x+3)^{-1}$. On pose $u(x)=2x+3$, $u'(x)=2$.
   $h'(x)=-1\cdot u^{-2}\cdot u'=-\dfrac{2}{(2x+3)^2}$, domaine $x\neq -\dfrac{3}{2}$.

Exercice n°2 – Exponentielles composées

1. $f(x)=e^{2x+1}$, $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$.
   $f'(x)=u',e^{u}=2e^{2x+1}$.

2. $g(x)=e^{x^2}$, $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$.
   $g'(x)=2x~e^{x^2}$.

3. $h(x)=e^{\sqrt{x}}$, $u(x)=\sqrt{x}$, $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ (avec $x>0$ pour la dérivabilité).
   $h'(x)=u'~e^{u}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}~e^{\sqrt{x}}$ pour $x>0$.
   Remarque : $h$ est définie sur $[0,+\infty[$ mais dérivable sur $]0,+\infty[$.

Exercice n°3 – Puissances composées

1. $f(x)=(x^2+1)^5$, $u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$.
   $f'(x)=5u^4\cdot u'=5(x^2+1)^4\cdot 2x=10x(x^2+1)^4$.

2. $g(x)=(3x-2)^{10}$, $u(x)=3x-2$, $u'(x)=3$.
   $g'(x)=10u^9\cdot u'=10(3x-2)^9\cdot 3=30(3x-2)^9$.

3. $h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}=(2x+1)^{-\tfrac12}$, $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$.
   $h'(x)=-\dfrac{1}{2}u^{-\tfrac32}\cdot u'=-\dfrac{1}{2}\cdot (2x+1)^{-\tfrac32}\cdot 2=-\dfrac{1}{(2x+1)^{\tfrac32}}$ avec $2x+1>0$, soit $x>-\dfrac{1}{2}$.

Exercice n°4 – Trigonométriques composées

1. $f(x)=\sin(3x)$, $u(x)=3x$, $u'(x)=3$.
   $f'(x)=\cos(u)\cdot u'=3\cos(3x)$.

2. $g(x)=\cos(x^2)$, $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$.
   $g'(x)=-\sin(u)\cdot u'=-2x\sin(x^2)$.

3. $h(x)=\sin(\sqrt{x})$, $u(x)=\sqrt{x}$, $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ (pour $x>0$).
   $h'(x)=\cos(u)\cdot u'=\dfrac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$ pour $x>0$.
   Remarque : $h$ est définie sur $[0,+\infty)$ et dérivable sur $(0,+\infty)$.

Exercice n°5 – Mélange complet

1. $f(x)=(2x+1)e^{x^2}$. C’est un produit $p\cdot q$ avec $p(x)=2x+1$, $p'(x)=2$ et $q(x)=e^{x^2}$, $q'(x)=2x~e^{x^2}$.
   $f'(x)=p'q+p,q'=2e^{x^2}+(2x+1)\cdot 2x~e^{x^2}$.
   $f'(x)={\Huge{[}}2+2x(2x+1){\Huge{]}}e^{x^2}=\left(4x^2+2x+2\right)e^{x^2}$.

2. $g(x)=\dfrac{\sin(5x)}{x^2+1}$. C’est un quotient $\dfrac{n}{d}$ avec $n(x)=\sin(5x)$, $n'(x)=5\cos(5x)$ et $d(x)=x^2+1$, $d'(x)=2x$.
   $g'(x)=\dfrac{n'd-n~d'}{d^2}=\dfrac{5\cos(5x)(x^2+1)-\sin(5x)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$.

3. $h(x)=\sqrt{e^x+1}=(e^x+1)^{\tfrac12}$. On pose $u(x)=e^x+1$, $u'(x)=e^x$.
   $h'(x)=\dfrac{1}{2}u^{-\tfrac12}\cdot u'=\dfrac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}$ (valable pour tout $x\in\mathbb R$ car $e^x+1>0$).