Définition de la dérivée

Dans tout ce qui suit, $h$ est un réel non nul qui tend vers 0.

1. $f(x)= 2x - 3$ ; en a = 0

   
   $f(0)=-3$ et $f(0+h)=2(0+h)-3=2h-3$
   On calcule le taux de variation entre ces deux valeurs : $\tau=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{2h-3-(-3)}{h}=\dfrac{2h}{h}=2$
   Une fois ce taux simplifié, on cherche si celui-ci a une limite finie lorsque $h$ tend vers 0.
   Or $\lim\limits_{h\to 0}(\tau)= \lim\limits_{h\to 0}(2)=2$
   La limite de ce taux existe et est finie, donc $f$ est dérivable en 0 et son nombre dérivé en 0 vaut 2. On écrit $f'(0)=2$.

2. $f(x)=3x^2 + 2x - 1$ ; a = 2

   
   $f(2)=15$ et $f(2+h)=(3(2+h)^2+2(2+h)-1=3h^2+14h+15$
   On calcule le taux de variation : $\tau=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{(3h^2+14h+15)-15}{h}=\dfrac{3h^2+14h}{h}=\dfrac{h(3h+14)}{h}=3h+14$
   Or $\lim\limits_{h\to 0}(\tau)=\lim\limits_{h\to 0}(3h+14)=14$
   On en conclut que la fonction est dérivable en 2 et que son nombre dérivé en 2 vaut 14 ; on peut écrire $f'(2)=14$.

3. $f(x)=\dfrac{(x-2)}{(x-3)}$ ; a = 2 avec $x \neq 3$

   
   $f(2)=0 \text{ et } f(2+h)=\dfrac{(2+h-2)}{(2+h-3)} = \dfrac{h}{(h-1)}$
   On calcule le taux de variation :
   $\tau=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{ \dfrac{h}{(h-1)} }{h}=\dfrac{h}{h(h-1)}=\dfrac{1}{h-1}$
   Or $\lim\limits_{h\to 0}(\tau)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{1}{h-1}\right) = -1$
   On en conclut que la fonction est dérivable en 2 et que son nombre dérivé en 2 vaut -1 ; on peut écrire $f'(2)=-1$.

4. $f(x)= \sqrt{5-x}$ ; $a = 4$

   
   $f(4)=1 \text{ et } f(4+h)=\sqrt{5-4-h} = \sqrt{1-h}$
   On calcule le taux de variation :
   $\tau=\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\dfrac{ \sqrt{1-h} - 1} {h}$
   On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{1-h}+1$ qui est l'expression conjuguée de $\sqrt{1-h}-1$ d'où :
   $\tau=\dfrac{( \sqrt{1-h} - 1)(\sqrt{1-h}+1)} {h(\sqrt{1-h}+1)}$
   $\tau = \dfrac{1-h-1}{h( \sqrt{1-h}+1)} = \dfrac{-h}{h( \sqrt{1-h}+1)} = \dfrac{-1}{( \sqrt{1-h}+1)}$
   Or $\lim\limits_{h\to 0}(\tau)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{-1}{( \sqrt{1-h}+1)}\right) = \dfrac{-1}{2}$
   On en conclut que la fonction est dérivable en 4 et que son nombre dérivé en 4 est $-1/2$. On peut écrire $f'(4)=\dfrac{-1}{2}$.