Datation au carbone 14 et demi-vie

1) Le taux de carbone 14 est-il constant (approximativement) pendant la vie de l'organisme ? Après sa mort ?

Pendant la vie de l’organisme, celui-ci échange constamment du carbone avec l’extérieur (par l’alimentation, la respiration…). Il assimile du carbone 14 en même temps que le carbone ordinaire. Comme la proportion de carbone 14 dans l’atmosphère est stable (à l’échelle humaine), le taux de carbone 14 dans l’organisme vivant reste constant.

Après la mort, l’organisme n’échange plus avec l’extérieur. Le carbone 14 qu’il contient se désintègre progressivement sans être renouvelé. Donc le taux de carbone 14 diminue au cours du temps.

2) Qu'est-ce que la période de demi-vie ?

Par définition, la demi-vie, notée $t_{1/2}$, d'un corps radioactif est le temps au bout duquel la moitié des noyaux présents au départ s'est désintégrée.

Pour le carbone 14, la demi-vie est de $5730$ ans. Cela signifie que tous les $5730$ ans, la quantité de carbone 14 restante est divisée par $2$.

3) À combien est évalué le rapport $\dfrac{^{14}C}{C}$ d'un organisme vivant ?

Le texte indique que le rapport est de l’ordre de $10^{-12}$.

Cela signifie que pour $1$ kg de carbone total, il y a environ $10^{-12}$ kg de carbone 14, soit $10^{-9}$ grammes, soit $1$ nanogramme.

4) Poids du carbone 14 pour $10$ kg de carbone total

On a $\dfrac{^{14}C}{C} \approx 10^{-12}$.

Donc masse de $^{14}C = 10 \times 10^{-12} = 10^{-11}$ kg.

Convertissons en microgrammes :

$1$ kg = $10^9$ microgrammes.

Donc $10^{-11}$ kg = $10^{-11} \times 10^9 = 10^{-2}$ microgrammes = $0,01$ microgramme.

Soit $10^{-2}\ \mu\text{g}$.

5) Évolution après la mort

On sait qu’au bout de $5730$ ans (une demi-vie), la quantité est divisée par $2$. Chaque fois qu'il s'écoule un temps $t_{1/2}$, le nombre de noyau restant est divisé par 2.

• Divisé par $2$ : $5730$ ans.

• Divisé par $4$ : $2$ demi-vies = $2 \times 5730 = 11460$ ans.

• Divisé par $8$ : $3$ demi-vies = $3 \times 5730 = 17190$ ans.

• Divisé par $16$ : $4$ demi-vies = $22920$ ans, etc.

Ainsi, au bout de $n$ demi-vies, le nombre de noyaux restant est :

$\boxed{N = \dfrac{N_0}{2^n}= N_0 \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n}$

Cette relation permet de tracer la courbe $N = f(t)$ ci-dessous :

Remarque : pour une division par $3$ ou par $5$, ce n’est pas un nombre entier de demi-vies. Il faut utiliser la formule de décroissance exponentielle vu en physique-chimie (cf. le lien vers la fiche de physique fourni).

La quantité restante au bout du temps $t$ (en années) est donnée par :

$N(t) = N_0 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t / 5730}$.

On cherche $t$ tel que $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t / 5730} = \dfrac{1}{k}$.

Cela donne $t = 5730 \times \dfrac{\ln k}{\ln 2}$.

• Pour $k = 3$ : $t = 5730 \times \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \approx 5730 \times 1,585 \approx 9080$ ans.

• Pour $k = 5$ : $t = 5730 \times \dfrac{\ln 5}{\ln 2} \approx 5730 \times 2,322 \approx 13300$ ans.