Continuité en un point ou sur un intervalle

Exercice 1

1. L’expression $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ n’est pas définie pour $x=1$ (dénominateur nul). Donc $D_f=\mathbb R\setminus\{1\}$.

2. On factorise le numérateur :
   $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
   Ainsi, pour $x\neq 1$:
   $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$.

3. Donc $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=1+1=2$.
   Mais $f(1)$ n’existe pas car $1\notin D_f$.
   Conclusion : $f$ n’est pas continue en $1$.
   (Graphiquement : une droite d’équation $y=x+1$ avec un trou au point $(1,2)$).

Exercice 2

1. Pour $x<0$, $g(x)=2x+1$. Donc
   $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}g(x)=2\cdot 0+1=1$.

2. Pour $x\geq 0$, $g(x)=x^2$. Donc
   $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)=0^2=0$.

3. On a $g(0)=0^2=0$.
   Or $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}g(x)=1 \neq \displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)=0$.
   Donc $g$ n’admet pas de limite en $0$, et par conséquent $g$ n’est pas continue en $0$.

(Graphiquement : une droite qui s’arrête en $(0,1)$ et une parabole qui part de $(0,0)$).

Exercice 3

1. Pour $x=2$:
   $\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\text{E}(x)=1$, car pour $x$ juste avant 2, la partie entière vaut $1$.
   $\displaystyle\lim_{x\to 2^+}\text{E}(x)=2$, car pour $x$ juste après 2, la partie entière vaut $2$.
   Comme $1\neq 2$, $h$ n’a pas de limite en $2$ et n’est donc pas continue en ce point.

2. Sur $]2,3[$, pour tout $x$, $\text{E}(x)=2$ (constante).
   Une fonction constante est continue, donc $h$ est continue sur $]2,3[$.

3. Sur $[1,4]$, la représentation est un escalier :

• $h(x)=1$ pour $1\leq x<2$,

• $h(x)=2$ pour $2\leq x<3$,

• $h(x)=3$ pour $3\leq x<4$.
  Chaque saut aux entiers correspond à une discontinuité.