Théorème du point fixe

Exercice 1 – Image d’une suite par une fonction

On considère $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour $n\geq 1$ et $f(x)=\dfrac{1}{x}$ définie sur $]0,+\infty[$.

1. Expression de $(f(u_n))$.
   Pour $n\geq 1$, on a $u_n=\dfrac{n}{n+1}>0$, donc $u_n\in]0,+\infty[$ et $f(u_n)$ est bien défini.
   On calcule $f(u_n)=\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{\dfrac{n}{n+1}}=\dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}$.

2. Limite de $(u_n)$.
   On sait que $\dfrac{n}{n+1}\to 1$ quand $n\to+\infty$.
   Donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1$.

3. Limite de $(f(u_n))$.
   Méthode 1 (directe) : $f(u_n)=1+\dfrac{1}{n}\to 1$.
   Méthode 2 (par continuité) : $f$ est continue en $1$ et $u_n\to 1$, donc
   $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=f\left(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\right)=f(1)=1$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=1$.

Exercice 2 – Image d’une suite convergente par une fonction continue

On définit $v_n=\cos\!\left(\dfrac{1}{n}\right)$ pour $n\geq 1$.

1. Identification de $u_n$ et de $f$.
   On pose $u_n=\dfrac{1}{n}$ et $f(x)=\cos(x)$ définie et continue sur $\mathbb{R}$.
   Alors $v_n=f(u_n)$.

2. Limite de $(u_n)$.
   On a $\dfrac{1}{n}\to 0$ quand $n\to+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$.

3. Limite de $(v_n)$.
   La fonction cosinus est continue en $0$, donc
   $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\cos(u_n)=\cos!\left(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\right)=\cos(0)=1$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=1$.

Exercice 3 – Suites définies par récurrence et point fixe

On considère $f(x)=\dfrac{x+2}{3}$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Calcul des premiers termes.
   $u_1=f(u_0)=\dfrac{0+2}{3}=\dfrac{2}{3}$.
   $u_2=f(u_1)=\dfrac{\dfrac{2}{3}+2}{3}=\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3}}{3}=\dfrac{\dfrac{8}{3}}{3}=\dfrac{8}{9}$.
   $u_3=f(u_2)=\dfrac{\dfrac{8}{9}+2}{3}=\dfrac{\dfrac{8}{9}+\dfrac{18}{9}}{3}=\dfrac{\dfrac{26}{9}}{3}=\dfrac{26}{27}$.

2. Conjecture sur la limite.
   Les valeurs obtenues suggèrent $u_n\uparrow$ vers $1$. On conjecture $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1$.

3. Vérification que $1$ est un point fixe.
   On résout $f(x)=x$ :
   $x=\dfrac{x+2}{3}\ \Longleftrightarrow\ 3x=x+2\ \Longleftrightarrow\ 2x=2\ \Longleftrightarrow\ x=1$.
   On a bien $f(1)=1$.

4. Justification de la convergence et conclusion.
   On montre d’abord que $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$. Procédons par récurrence.
   Initialisation : $u_0=0\leq 1$.
   Hérédité (majoration) : si $u_n\leq 1$, alors $u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{3}\leq\dfrac{1+2}{3}=1$.
   Hérédité (croissance) : si $u_n\leq 1$, alors
   $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+2}{3}-u_n=\dfrac{2-2u_n}{3}=\dfrac{2(1-u_n)}{3}\geq 0$.
   Conclusion : Par récurrence, on a pour tout $n$, $u_n\leq 1$ et $(u_n)$ est croissante.
   Une suite croissante et majorée converge ; notons $l=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.
   
   Par passage à la limite dans la relation de récurrence et par continuité de $f$ :
   $l=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n+1}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=f\!\left(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\right)=f(l)$.
   Donc $l$ est un point fixe de $f$. L’unique point fixe étant $l=1$, on conclut
   $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1$.

Construction : tracer dans le plan la droite $y=x$ et la droite $y=\dfrac{x+2}{3}$, puis réaliser un diagramme « toiles d’araignée » à partir de $x_0=0$ pour visualiser la convergence vers l’intersection $(1,1)$.