Entraînement

Composée de deux fonctions

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Énoncé

Exercice 1

On considère les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$u(x)=3x-1$ et $v(x)=x^2+4$ .

Déterminer l’expression de $v\circ u(x)$ .
Calculer $v\circ u(2)$ .
Déterminer l’expression de $u\circ v(x)$ .

Exercice 2

Soient les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$u(x)=x+5$ et $v(x)=\sqrt{x}$ .

Déterminer $v\circ u(x)$ .
Quel est l’ensemble de définition de $v\circ u$ ?
Déterminer $u\circ v(x)$ et préciser son ensemble de définition.

Exercice 3

On considère $f(x)=x^2$ , $g(x)=\dfrac{1}{x}$ et $h(x)=2x-3$ .

Déterminer l’expression de $f\circ g(x)$ .
Quel est l’ensemble de définition de $f\circ g$ ?
Déterminer l’expression de $g\circ h(x)$ .
Quel est l’ensemble de définition de $g\circ h$ ?

Révéler le corrigé

Exercice 1

On a $v\circ u(x)=v(u(x))$ .
$u(x)=3x-1$ donc $v(u(x))=(3x-1)^2+4$ .
Développons : $(3x-1)^2=9x^2-6x+1$ .
Donc $v\circ u(x)=9x^2-6x+1+4=9x^2-6x+5$ .
$v\circ u(2)=9(2)^2-6(2)+5=9\times4-12+5=36-12+5=29$ .
$u\circ v(x)=u(v(x))=u(x^2+4)=3(x^2+4)-1=3x^2+12-1=3x^2+11$ .

Exercice 2

$v\circ u(x)=v(u(x))=v(x+5)=\sqrt{x+5}$ .
Pour que la racine carrée soit définie, il faut $x+5\geq 0$ .
Donc $D_{v\circ u}=[-5;+\infty[$ .
$u\circ v(x)=u(v(x))=u(\sqrt{x})=\sqrt{x}+5$ .
Il faut $\sqrt{x}$ défini, donc $x\geq 0$ .
Ainsi $D_{u\circ v}=[0;+\infty[$ .

Exercice 3

$f\circ g(x)=f(g(x))=f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=\dfrac{1}{x^2}$ .
Comme $g(x)=\dfrac{1}{x}$ n’est pas défini en $x=0$ , on a
$D_{f\circ g}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .
$g\circ h(x)=g(h(x))=g(2x-3)=\dfrac{1}{2x-3}$ .
Il faut que $2x-3\neq 0$ , donc $x\neq\dfrac{3}{2}$ .
Ainsi $D_{g\circ h}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{3}{2}\right\rbrace$ .

Exercice suivant

Dérivation et composée (1)