Le binôme de Newton

Exercice 1 :

👉 Coefficients binomiaux appliqués aux puissances de $\text i$

$(1+\text i)^2=1+2\text i+\text i^2=1+2\text i-1=2\text i$.
$(1+\text i)^3=1+3\text i+3\text i^2+\text i^3=1+3\text i-3-\text i=-2+2\text i$.
$(1+\text i)^4=1+4\text i+6\text i^2+4\text i^3+\text i^4=1+4\text i-6-4\text i+1=-4$.

Exercice 2

👉 Utilisation du triangle de Pascal avec un complexe

À l’aide de la 5e ligne du triangle de Pascal (coefficients : $1\ ;\ 5\ ;\ 10\ ;\ 10\ ;\ 5\ ;\ 1$), développer : $(1+\text i)^5$.

$(1+\text i)^5=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}1^{5-k}(\text i)^k$
$=1+5\text i+10\text i^2+10\text i^3+5\text i^4+\text i^5$
$=1+5\text i+10(-1)+10(-\text i)+5(1)+\text i$
$=(-4)+( -4\text i)$.

Donc $(1+\text i)^5=-4-4\text i$.

Exercice 3

👉 Le binôme de Newton au service des complexes

$(1-\text i z)^4=\binom{4}{0}1^4+ \binom{4}{1}(1^3)(-\text i z)+\binom{4}{2}(1^2)(-\text i z)^2+\binom{4}{3}(1)(-\text i z)^3+\binom{4}{4}(-\text i z)^4$

$=1-4\text i z+6(-1)z^2+4(-\text i)^3z^3+(-\text i)^4z^4$

$=1-4\text i z-6z^2-4\text i z^3+z^4$.

Donc $(1-\text i z)^4=z^4-6z^2+1-4\text i(z+z^3)$.