Calcul de probabilités

Exercice 1

1. On appelle P l'événement « obtenir pile » et F l'événement « obtenir face ». 👉 Pense à coder chaque lancer pour écrire les issues plus facilement.
   Ainsi l'univers est $\Omega~=~\{PPP,PPF,PFP,PFF,FPP,FPF,FFP,FFF\}$.

2. On a ainsi $A~=~\{FFF,FFP,FPF,PFF\}$ et $B~=~\{PFP,FPF\}$. 👉 Écris toujours un événement comme un ensemble d’issues.
   $\Omega$ est composé de 8 issues équiprobables. 👉 Une pièce équilibrée donne des issues de même probabilité.

$A$ contient 4 issues donc $p(A)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$. 👉 Compte simplement le nombre d’issues favorables.

$B$ contient 2 issues donc $p(B)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.

3. Pour déterminer $p(A~\cup~B)$ on va tout d'abord déterminer $p(A~\cap~B)$ puis utiliser la propriété : 👉 Union = addition moins l’intersection.
   $p(A~\cup~B)=p(A)+p(B)-p(A~\cap~B)$.
   $A$ et $B$ ont une issue en commun : $FPF$. Ainsi $p(A~\cap~B)=\dfrac{1}{8}$. 👉 Cherche les issues communes aux deux événements.
   Par conséquent :
   $p(A~\cup~B)=p(A)+p(B)-p(A~\cap~B)=\dfrac{4}{8}+\dfrac{2}{8}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{8}$.

Exercice 2

$p(\text{face})=\dfrac{1}{2}$
$p(\text{nombre pair})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

Donc :
$p(\text{face puis pair})=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$

👉 Conseil : vérifie l’équiprobabilité à chaque étape.

Exercice 3

$p(\text{pile puis }6)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}$
$p(\text{face puis }6)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}$

👉 Conseil : les deux résultats ont la même probabilité ici.

Exercice 4

$p(\text{pile puis pile})=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
$p(\text{pile puis face})=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$

👉 Conseil : deux épreuves successives se traitent toujours par un produit.