Échantillonnage, intervalle de fluctuation et intervalle de confiance

Rappel :

Au sein d'un échantillon de taille $n \ge 25$ l'intervalle de fluctuation centré au seuil de $95$ de la fréquence $f$ d'un événement de probabilité $0,2 \le p \le 0,8$ est :
👉 Cet intervalle sert à vérifier si une fréquence observée est compatible avec une probabilité donnée.

$\boxed{IF_{95\%}=\left[\,p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,\right]}$

Exercice 1

Si l'affirmation du vendeur est vraie, chaque oeuvre expertisée a une probabilité $p=0,30$ d'être antique.

👉 On part toujours de l’hypothèse annoncée.
Donc sur l'échantillon aléatoire de $n=200$ oeuvres, l'intervalle de fluctuation centré au seuil de $95\%$ est :
$IF_{95}=\left[0,30-\dfrac{1}{\sqrt{200}}~;~0,30+\dfrac{1}{\sqrt{200}}\right]=[0,30-0,07~;~0,30+0,07]=[23\%~;~37\%]$.

La fréquence d'oeuvres identifiées comme antiques par l'expert est $f=\dfrac{52}{200}=26$.

👉 La fréquence observée se calcule toujours par $\dfrac{\text{nombre de succès}}{\text{effectif total}}$.
Cette fréquence est bien dans l'intervalle de fluctuation.
Le directeur peut donc faire confiance au vendeur au seuil de $95$.

Exercice 2

1. Si le dé n'est pas truqué, chaque face est équiprobable avec une probabilité $\dfrac{1}{6}$ d'apparaître.
   Pour gagner je dois faire $1$, $2$ ou $3$.

2. 👉 Identifie précisément les issues favorables.
   J'ai donc $3$ chances sur $6$, donc une probabilité de victoire $p=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

3. Si je dois $30$ Euros après $100$ parties, c'est que j'ai $35$ victoires (et $65$ défaites).

4. 👉 Chaque défaite fait perdre 1 Euro, chaque victoire en fait gagner 1.

5. $IF_{95}=\left[0,50-\dfrac{1}{\sqrt{100}}~;~0,50+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right]=[0,50-0,10~;~0,50+0,10]=[0,40~;~0,60]$.

6. La fréquence de mes victoires est $f=\dfrac{35}{100}=0,35$.
   Cette fréquence est en dehors de l'intervalle de fluctuation.

7. 👉 Une fréquence hors intervalle remet en cause l’hypothèse de départ.
   Donc au seuil de $95\%$, je peux considérer que ma probabilité de victoire à chaque lancer n'est pas $p=0,50$ et donc que le dé est probablement truqué.

Remarque 1 : on considère ici les $100$ parties jouées comme un échantillon aléatoire de $n$ événements de probabilité constante $p$. 👉 C’est une hypothèse essentielle pour utiliser l’intervalle de fluctuation.

Remarque 2 : un dé peut être truqué en le lestant lors de sa fabrication. Les faces $1$, $2$ et $3$ sont du même côté, opposées aux faces $4$, $5$ et $6$. Donc si on alourdit le dé du côté des faces $4$, $5$ et $6$... celles-ci sortiront plus souvent.

Exercice 3

Question 1. Peut-on dire que la proportion de femmes a changé en trois ans ?

Si rien n'a changé, la proportion de femmes dans les conseils d'administration est toujours : $p=20$.
De plus $n=400$ implique $\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{400}}=\dfrac{1}{20}=0,05=5\%$.

👉 Vérifie toujours que $n \ge 25$.
Donc l'intervalle de fluctuation de la fréquence de femmes est :

$IF_{95}=[20\%-5\%~;~20\%+5\%]=[15\%~;~25\%]$

Or la fréquence observée dans l'échantillon est : $f=\dfrac{108}{400}=0,27=27\%$.
Cette fréquence est en dehors de l'intervalle de fluctuation, elle est donc peu plausible.
On peut donc affirmer au seuil de $95\%$ que la proportion de femmes a effectivement changé.

Question 2. La promesse du ministre a-t-elle été tenue ?

Si la promesse a été tenue, la proportion de femmes dans les conseils d'administration a doublé : $p=40\%$.
On a toujours $n=400$ implique $\dfrac{1}{\sqrt{n}}=5$.
Donc l'intervalle de fluctuation de la fréquence de femmes devient :
$IF_{95}=[40\%-5\%~;~40\%+5\%]=[35\%~;~45\%]$.

Donc la fréquence observée dans l'échantillon qui est $f=27\%$ est en dehors de l'intervalle de fluctuation.
On peut donc affirmer au seuil de $95\%$ que la promesse de doublement en trois ans de la proportion de femmes n'a pas été tenue.

Exercice 4

On a un échantillon de taille $n=500\geq25~\text{ et }~p=0,25\in[0,2~;~0,8]$.

👉 Vérifie toujours les conditions $n\geq25$ et $0,2\leq p\leq0,8$ avant d’utiliser un intervalle de fluctuation.
Un intervalle de fluctuation est donc

$I_{500}=\left[0,25-\dfrac{1}{\sqrt{500}}~~;~~0,25+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right]\approx[0,20~~;~~0,30]$

👉 Pense à arrondir proprement pour interpréter l’intervalle.

La fréquence observée est $f=\dfrac{145}{500}=0,29\in I_{500}$.

👉 Compare toujours la fréquence observée à l’intervalle.

Le contrôle, au risque d'erreur de $5$, ne remet donc pas en cause l'affirmation du fournisseur.

Exercice 5

2. Un intervalle de confiance est :

$I_{1200}=\left[0,529-\dfrac{1}{\sqrt{1200}}~~;~~0,529+\dfrac{1}{\sqrt{1200}}\right]\approx[0,5~001~~;~~0,5~579]$

👉 Ici, on raisonne sur une estimation issue d’un sondage.

Par conséquent la probabilité que le candidat A, au risque d'erreur de $5$, est supérieure à $50$ et ce candidat peut croire en sa victoire. 👉 Regarde si $50$ appartient ou non à l’intervalle.