Arbre pondéré, probabilité conditionnelle et indépendance (1)

Exercice 1

On considère l'arbre des probabilités suivant, où A et B désignent deux événements d'un univers $\Omega$.

1. Que vaut $p_A(\bar{B})$, $p(A \cap B)$, $p(B)$, $p_B(A)$

2. A et B sont-ils indépendants ?

Exercice 2

Dans cet exercice, A et B désignent deux événements de l'univers d'une expérience aléatoire.
Dire, dans chaque cas, si A et B sont indépendants.

1 $p(B) = 0,15$ ; $p(A\cap B) = 0,02$ et $p(A\cup B) = 0,5$ ;
2 $p(\bar{A})= 0.5$ , $p(B) = 0,4$ et $p(A \cup B) = 0,7$.

Exercice 3

Un gérant de cinéma équipe sa caisse d’un terminal de paiement. Les spectateurs peuvent, s’ils paient par carte bancaire, utiliser le mode sans contact (lorsque le montant est inférieur ou égal à 50 $\text{\euro}$) ou le mode code secret (quel que soit le montant).

Il constate que 75 % des clients règlent un montant inférieur ou égal à 50 $\text{\euro}$. Parmi ces clients, 35 % paient en espèces, 40 % paient par carte en mode sans contact, et le reste paie par carte en mode code secret.

Il observe également que 25 % des clients règlent un montant strictement supérieur à 50 $\text{\euro}$. Parmi ceux-ci, 80 % paient par carte en mode code secret et les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler sa place (ou ses places) au cinéma. On considère les événements suivants :
$V$ : « le client a réglé un montant inférieur ou égal à 50 $\text{\euro}$ » ;
$E$ : « le client a réglé en espèces » ;
$C$ : « le client a réglé par carte en mode code secret » ;
$S$ : « le client a réglé par carte en mode sans contact ».

1. a) Donner la probabilité de l’événement $V$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant $V$.
   b) Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a) Calculer la probabilité que le client ait payé un montant $\leq 50$ euros et qu’il ait utilisé le sans contact.
   b) Calculer $p(C)$.