Arbre pondéré et probabilité conditionnelle

Rappels
On considère une expérience aléatoire.

$\circ$ On appelle issue un des résultats possibles de l’expérience aléatoire.

$\circ$ On appelle univers l’ensemble des issues, c'est-à-dire l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. On le note $\Omega$.

On appelle probabilité sur $\Omega$ d’un événement $A$ quelconque un nombre réel noté $P(A)$ tel que : $0≤P(A)≤1$

Soient $A$ et $B$ deux événements et $\Omega$ un univers. Alors :

$\circ$ $P(A) = 1 - P(\bar{A})$

$\circ$ $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

I. Arbre pondéré

Sur cet arbre pondéré, le chemin matérialisé en rouge représente la réalisation de l'événement $A$ suivie de celle de l'événement $C$.

II. Probabilité conditionnelle

Sur l'arbre ci- dessus :

On suppose que l'événement $A$ a une probabilité non nulle.
La probabilité de réalisation de l'événement $C$ sachant que $A$ est déjà réalisé se note $P_A(C)$, et se lit « probabilité de $C$ sachant $A$ » ; c'est le poids de la branche secondaire qui relie les événements $A$ et $C$.

$P_A(C)$ est une probabilité conditionnelle, car la réalisation de $C$ dépend de celle de $A$.

Définition
Soit $\Omega$ un univers muni d’une probabilité $P$.
Soit $A$ un événement de $\Omega$ tel que $P(A) \neq 0$.
On définit la probabilité qu’un événement $B$ soit réalisé sachant que $A$ est réalisé par :
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Propriétés

$\checkmark$ $P_A(B) = 1 - P_A(\bar{B})$

$\checkmark$ $P_A(A) = 1$

$\checkmark$ Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), alors $P_A(B) = 0$

$\checkmark$ $P(A \cap B) = P_A(B) \times P(A) = P_B(A) \times P(B)$ par symétrie de l’intersection.

Remarque :

Une organisation avec un tableau à double entrée peut remplacer un arbre pondéré.

$\checkmark$ Quelle est la probabilité parmi les cadres de choisir une femme ?

On sait qu'il y a $16$ cadres, et parmi ces $16$ cadres, on a $3$ femmes.

La probabilité est : $P_C(F)=\dfrac{3}{16}$ résultat qu'on retrouve bien en écrivant :

$P_C(F)=\dfrac{P(F\cap C)}{P(C)}$.

III. Propriétés (admises)

$\checkmark$ La somme des probabilités des branches issues d’un nœud est égale à 1.

$\checkmark$ La probabilité de l’événement à l’extrémité d’un chemin est égale au produit des

probabilités des branches composant ce chemin.

$\checkmark$ La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins

conduisant à cet événement.

IV. Exercice d'application

Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients,
s'ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire,
d'utiliser celle-ci en mode sans contact
(quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à 50 euros)
ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).

Il remarque que :
75 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 50 euros. Parmi eux :
35 % paient en espèces
40 % paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.

25 % de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 50 euros. Parmi eux :
80 % paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
On considère les événements suivants :
V : « pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 50 euros » ;
E : « pour son achat, le client a réglé en espèces » ;
C : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret » ;
S : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact ».

1. Donner la probabilité de l'événement V, ainsi que la probabilité de S sachant V .
2. Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

Solution :

1. $p(V) = 0.75 \quad p_V(S) = 0.4$
2. arbre pondéré.