Arbre pondéré, probabilité conditionnelle et indépendance (2)

Exercice 1

1 a $p(V)=0{,}02\qquad p_V(T)=0{,}99 \qquad p_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right)=0{,}97.$
On obtient ainsi l'arbre suivant :

b On a donc $p(V \cap T)=0{,}02\times 0{,}99=0{,}0198$
2 D'après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{array}{rl} p(T)&=p(T \cap V)+p\left(T \cap \overline{V}\right)\\ &=0{,}0198+0{,}98\times 0{,}03\\ &=0{,}0198+0{,}0294\\ &=0{,}0492 \end{array}$

3 a Il s'agit d'évaluer $p_T(V)\text{ : }\;\; p_T(V)=\dfrac{p(V \cap T)}{p(T)}=\dfrac{0{,}0198}{0{,}0492}\approx 0{,}4024.$
Si le test est positif, il n'y a donc qu'environ $40$ de "chances" que la personne soit contaminée.

b On veut calculer $p_{\overline{T}}\left(\overline{V}\right)\text{ : }\;\; p_{\overline{T}}\left(\overline{V}\right)=\dfrac{p\left(\overline{V} \cap \overline{T}\right)}{p\left(\overline{T}\right)}=\dfrac{0{,}98\times 0{,}97}{1-0{,}0492}\approx 0{,}9998.$
La probabilité que la personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que le test est négatif est donc de $99{,}98$.

4 $p_V(T)=0{,}99 \text{ et } p(T)=0{,}0492.$ Donc $p_V(T)\neq p(T)$, les événements ne sont donc pas indépendants.

👉 Conseil : pour la question 3, pense au théorème de Bayes $;p_T(V)=\dfrac{p(V)\,p_V(T)}{p(T)}\;$ pour vérifier rapidement ton calcul.
👉 Astuce : contrôle toujours $p(\overline{T})=1-p(T)$ avant de calculer $p_{\overline{T}}(\overline{V})$.

Exercice 2

1. À partir de l'énoncé, nous devons donner, sans calcul, les probabilités $P(C),\;P(V)$ et la probabilité conditionnelle $P_C(V)$.

La circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2\%$ de la population d'un pays.
Donc $P(C)=0{,}02.$

Dans ce pays, $90\%$ de la population a été vaccinée contre ce virus.
Donc $P(V)=0{,}90.$

On constate que $62\%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées.
Donc $P_C(V)=0{,}62.$

2. a) Nous devons calculer $P(C \cap V).$

$P(C \cap V)=P(C)\times P_C(V)$
$\phantom{P(C \cap V)}=0{,}02\times 0{,}62$
$\phantom{P(C \cap V)}=0{,}0124$
$\Longrightarrow\quad\boxed{P(C \cap V)=0{,}0124}$

2. b) Nous devons en déduire $P(\overline{C} \cap V)$

Les événements $C$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(V)=P(C\cap V)+P(\overline{C}\cap V)\quad\Longleftrightarrow\quad 0{,}90=0{,}0124+P(\overline{C}\cap V)$
$\phantom{P(V)=P(C\cap V)+P(\overline{C}\cap V)}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\overline{C}\cap V)=0{,}90-0{,}0124$
$\phantom{P(V)=P(C\cap V)+P(\overline{C}\cap V)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(\overline{C}\cap V)=0{,}8876}$

3. Arbre des probabilités complété.

Calculs préalables :

$P_{\overline{C}}(V)=\dfrac{P(\overline{C}\cap V)}{P(\overline{C})}$
$\phantom{P_{\overline{C}}(V)}=\dfrac{0{,}8876}{0{,}98}$
$\phantom{P_{\overline{C}}(V)}\approx 0{,}9057$
$\Longrightarrow\quad\boxed{P_{\overline{C}}(V)\approx 0{,}9057}$

$P_{\overline{C}}(\overline{V})=1-P_{\overline{C}}(V)$
$\phantom{P_{\overline{C}}(\overline{V})}\approx 1-0{,}9057$
$\phantom{P_{\overline{C}}(\overline{V})}\approx 0{,}0943$
$\Longrightarrow\quad\boxed{P_{\overline{C}}(\overline{V})\approx 0{,}0943}$

Arbre des probabilités

4. Nous devons calculer $P_V(C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

$P_V(C)=\dfrac{P(C\cap V)}{P(V)}$
$\phantom{P_V(C)}=\dfrac{0{,}0124}{0{,}90}$
$\phantom{P_V(C)}\approx 0{,}0138$
$\Longrightarrow\quad\boxed{P_V(C)\approx 0{,}0138}$

Interprétation
La probabilité qu'une personne soit contaminée sachant qu'elle est vaccinée est égale à environ $0{,}0138$.
Autrement dit, environ $1{,}38\%$ des personnes vaccinées ont été contaminées.

5. a) Affirmation : « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »
   L'affirmation est FAUSSE.

Par la question 3, nous savons que :

$\left\lbrace\begin{matrix} P_{\overline C}(V)\approx 0{,}9057\\ P_{\overline C}(\overline V)\approx 0{,}0943 \end{matrix}\right.$

Le rapport de ces deux probabilités est égal à $\dfrac{0{,}9057}{0{,}0943}\approx 9{,}6.$

Dès lors, parmi les personnes non contaminées, il y a $9{,}6$ fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées.
L'affirmation est donc fausse.

5. b) Affirmation : « Plus de $98\%$ de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »
   L'affirmation est VRAIE.

Nous devons donc déterminer $P_V(\overline C).$

$P_V(\overline C)=1-P_V(C)$
$\phantom{P_V(\overline C)}\approx 1-0{,}0138$
$\phantom{P_V(\overline C)}\approx 0{,}9862$
$\Longrightarrow\quad\boxed{P_V(\overline C)\approx 0{,}9862}$

Par conséquent, environ $98{,}62\%$ de la population vaccinée n'a pas été contaminée.
L'affirmation est donc vraie.

👉 Conseil : vérifie toujours que les branches issues d’un même nœud d’arbre somment à $1$ (contrôle rapide d’erreurs).
👉 Astuce : pour 5.b, calcule d’abord $P_V(C)$ puis utilise $1-P_V(C)$, c’est plus direct que de tout recomposer.