Probabilité conditionnelle à partir d’un tableau croisé

I. Définition

La probabilité conditionnelle de l’événement $B$ sachant que l’événement $A$ est réalisé se note $P_A(B)$.
Elle est définie par :

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) \ne 0$.

Dans un tableau d’effectifs, cela devient :

$P_A(B) = \dfrac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif total de } A}$

II. Lecture du tableau croisé

Reprenons l'exemple de la répartition des filles et des garçons qui ont été interrogés sur leur loisir favori.

Chaque case représente une intersection $A \cap B$. Par exemple :

• $P_\text{Fille}(\text{Musique}) = \dfrac{15}{71}$

• $P_\text{Garçon}(\text{Sport}) = \dfrac{15}{67}$

III. Exemples d'application

Exemple 1 : probabilité qu’un élève préfère la musique, sachant que c’est une fille

On cherche $P_\text{Fille}(\text{Musique})$.

Effectif de filles : $71$
Effectif de filles préférant la musique : $15$

$P_\text{Fille}(\text{Musique}) = \dfrac{15}{71} \approx 0{,}211$

Donc environ 21,1 % des filles préfèrent la musique.

Exemple 2 : probabilité qu’un élève soit un garçon, sachant qu’il préfère le sport

On cherche $P_\text{Sport}(\text{Garçon})$.

Effectif total des élèves préférant le sport : $27$
Effectif de garçons préférant le sport : $15$

$P_\text{Sport}(\text{Garçon}) = \dfrac{15}{27} \approx 0{,}556$

Donc environ 55,6 % des amateurs de sport sont des garçons.

IV. Résumé

• La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ mesure la fréquence de $B$ parmi les cas où $A$ est réalisé.

• Elle s’obtient en divisant l’effectif de $A \cap B$ par l’effectif total de $A$.

• Elle permet d’interpréter des données contextualisées (comme un tableau croisé).