Les intervalles de IR et leur représentation

En mathématiques, un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Ces bornes peuvent être incluses ou exclues, et l’intervalle peut aussi être infini.

I. Types d’intervalles

On distingue plusieurs types d’intervalles :

• Intervalle fermé : les deux bornes sont incluses

  L'intervalle fermé $[a;b]$ est l'ensemble de tous les éléments $x$de $\mathbb R$ compris (au sens large) entre les valeurs $a$ et $b$. Cela s'écrit :
  $[a ; b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \}$

  Pour le sens des crochets : Si la borne n'est pas incluse, on tourne le crochet dans l'autre sens.

• Intervalle ouvert : aucune borne n’est incluse, tu ne prends pas.
  $]a ; b[ = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \}$

  

• Intervalle semi-ouvert : une seule borne est incluse
  $[a ; b[ = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b \}$

  
  $]a ; b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b \}$

• Intervalles infinis : une borne est infinie
  $[a ; +\infty[ = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq a \}$

  
  $]-\infty ; b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq b \}$

  Quand on écrit un infini, on ouvre toujours l'intervalle en $+\infty$ ou $-\infty$.

II. Représentation sur la droite réelle

Sur une droite graduée :

• Une borne incluse est représentée par un point plein., ou un crochet fermé.

• Une borne exclue est représentée par un point creux, ou un crochet ouvert.

III. Savoir si un nombre appartient à un intervalle

On dit qu’un nombre appartient à un intervalle s’il vérifie les conditions de l’intervalle.

Exemples d'application

Exemple 1 : Lire un intervalle
$[2 ; 5]$ contient-il $4$ ?
Réponse : Oui, car $2 \leq 4 \leq 5$

Exemple 2 : $]2 ; 5[$ contient-il $2$ ?
Réponse : Non, car $2$ n’est pas strictement supérieur à $2$

Exemple 3 : Appartenance à un intervalle infini
$7$ appartient-il à $[3 ; +\infty[$ ?
Réponse : Oui, car $7 \geq 3$

Exemple 4 : Représenter graphiquement $[1 ; 3[$
Réponse : Segment entre $1$ (point plein) et $3$ (point vide)

IV. $\mathbb R^*$ n'est pas un intervalle

$\mathbb R^*$ peut être représenté par la droite des réels à laquelle on enlève le nombre $0$.

Sur cette droite il y a donc un "trou". $\mathbb R^*$ n'est donc pas un intervalle.