Trigonométrie, formules d’Euler et de Moivre

Utilisées dans $\text{ℂ}$, les formules d’Euler et de Moivre permettent de simplifier des calculs trigonométriques dans $\text{ℝ}$.

I) Formules de trigonométrie

Pour tous $\left(x;y\right)\in {\text{ℝ}}^2$, on a les formules suivantes :

Formules d’addition

 $\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

 $\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\sin y\cos x$

 $\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

 $\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\sin y\cos x$

Formules de duplication

 $\cos \left(2x\right)={\cos }^{2}x-{\text{sin}}^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\text{sin}}^{2}x$

 $\sin \left(2x\right)=2\sin x\cos x$

II) Formules d’Euler et de Moivre

1) Exponentielle imaginaire

$\text{Soit }z\in \text{U},$ c’est-à-dire tel que z est un nombre complexe de module 1.

$z=\cos \text{θ}+\text{i}\sin \text{θ}$ et, en notant ${\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}=\cos \text{θ}+\text{i}\sin \text{θ}$, on a $z={\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}$.

${\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}$ est la notation de l’exponentielle du nombre complexe z d’argument θ.

Propriétés : Soient $\left(\text{θ};{\text{θ}}^{\prime }\right)\in {\text{ℝ}}^2$ et $n\in \text{ℤ}$.

À noter

Les propriétés des puissances s’appliquent à l’exponentielle imaginaire.

2) Formules d’Euler

Soit $\text{θ}\in \text{ℝ}$. On a :

 $\cos \text{θ}=\frac{{\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}+{\text{e}}^{-\text{i}\text{θ}}}{2}$

 $\sin \text{θ}=\frac{{\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}-{\text{e}}^{-\text{i}\text{θ}}}{2\text{i}}$

3) Formule de Moivre

Soient $\text{θ}\in \text{ℝ}$ et $n\in \text{ℤ}$.

On a ${\left({\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}\right)}^n={\text{e}}^{\text{i}n\text{θ}}$, d’où, pour tout $n\in \text{ℤ}$ :

${\left(\cos \text{θ}+\text{i}\sin \text{θ}\right)}^n=\cos \left(n\text{θ}\right)+\text{i}\sin \left(n\text{θ}\right)$

À noter

Les formules d’Euler et de Moivre permettent de linéariser des expressions trigonométriques et donc de simplifier certains calculs.

Conseils

Exprimez ${\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}$ et ${\text{e}}^{-\text{i}\text{θ}}$ en fonction de $\cos \text{θ}$ et de $\sin \text{θ}$, puis déduisez-en les formules.

Solution

Soit $\text{θ}\in \text{ℝ}$.

${\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}+{\text{e}}^{-\text{i}\text{θ}}=\cos \text{θ}+\text{i}\sin \text{θ}+\cos \text{θ}-\text{i}\sin \text{θ}=2\cos \text{θ}$ et on obtient (1).

2Démontrer une formule de duplication

Montrer les deux égalités ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}$ et ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}$.

À partir de chacun des résultats, retrouver et montrer une formule de duplication de cos(2x).

Conseils

Pour les deux égalités, pensez à utiliser les formules d’Euler.

Solution

 Soit $x\in \text{ℝ}$. D’après les formules d’Euler, on a $\cos x=\frac{{\text{e}}^{\text{i}x}+{\text{e}}^{-\text{i}x}}{2}$.

À noter

${\left({\text{e}}^{\text{i}x}\right)}^2={\text{e}}^{2\text{i}x}$ ; ${\left({\text{e}}^{-\text{i}x}\right)}^2={\text{e}}^{-2\text{i}x}$ ; ${\text{e}}^{\text{i}x}\times {\text{e}}^{-\text{i}x}={\text{e}}^{\text{i}x-\text{i}x}={\text{e}}^0=1.$

On en déduit que $\cos \left(2x\right)+1=$$2{\text{cos}}^{2}x$, donc que $\cos \left(2x\right)=2{\cos }^{2}x-1$.

 Soit $x\in \text{ℝ}$. D’après les formules d’Euler, on a $\sin x=\frac{{\text{e}}^{\text{i}x}-{\text{e}}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$.

car ${\left(2\text{i}\right)}^2=-4$ et $\cos \left(2x\right)=\frac{{\text{e}}^{2\text{i}x}+{\text{e}}^{-2\text{i}x}}{2}$.