Certaines équations du second degré n’ont pas de solution dans ℝ. Dans $ℂ$ , toutes ont deux solutions, distinctes ou confondues, donc tout trinôme du second degré peut être factorisé.

I) Forme canonique d’un trinôme az ² + bz + c = 0, a ≠ 0

Une équation du second degré dans $ℂ$ à coefficients réels est une équation de la forme az² + bz + c = 0, où a, b et c sont trois nombres réels avec a ≠ 0, et où l’inconnue z est un nombre complexe.

La forme canonique du trinôme du second degré $a z^{2} + b z + c$ est :

$az^2+bz+c = a\big((z+\frac{b}{2a})^2− \frac{b^2−4ac}{4a^2}\big)$

$=a\big((z+\frac{b}{2a})^2−\frac{Δ}{4a^2}\big)$

où $Δ = b^{2} - 4 a c$ est le discriminant de l’équation (ou du trinôme) du second degré.

II) Résolution dans ℂ de l’équation az ² + bz + c = 0, a ≠ 0

On étudie le signe du discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

1^er cas : $Δ > 0$

$a z^{2} + b z + c = a (z - \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (z - \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a})$ car Δ = ( $\sqrt{Δ}$ )².

Les solutions sont $z_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ et $z_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ , qui sont deux nombres réels distincts.

2^e cas : $Δ = 0$

$a z^{2} + b z + c = a {(z + \frac{b}{2 a})}^{2}$ .

La solution, dite double, est $z_{0} = \frac{- b}{2 a}$ , qui est un nombre réel.

3^e cas : $Δ < 0$

Dans ce cas, $- Δ > 0$ et $Δ = - 1 \times (- Δ) = i^{2} \times {(\sqrt{- Δ})}^{2}$ , soit $Δ = {(i \sqrt{- Δ})}^{2} .$

$a z^{2} + b z + c = a (z - \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a}) (z - \frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a})$

Les solutions sont $z_{1} = \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ et $z_{2} = \bar{z_{1}} = \frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ , qui sont deux nombres complexes conjugués.

Méthode

Résoudre une équation du second degré dans ℂ

a. Résoudre dans $ℂ$ l’équation $z^{2} - 2 \sqrt{2} z - 2 = 0$ .

b. Résoudre dans $ℂ$ l’équation $z^{2} + z + 1 = 0$ .

c. Résoudre dans $ℂ$ l’équation $z^{2} - 6 z + 9 = 0$ .

Conseils
Étape 1 On calcule le discriminant de l’équation.
Étape 2 En fonction du signe du discriminant, on déduit le nombre de solutions de l’équation du second degré dans $ℂ$ .
Étape 3 On donne l’expression de la (ou des) solution(s) de l’équation du second degré dans $ℂ$ en utilisant les valeurs numériques de a, b et c.

Solution

a. Étape 1 Le discriminant est $Δ = {(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 \times 1 \times (- 2) = 8 + 8 = 16$ .

Étape 2 Δ > 0 donc, dans $ℂ$ , l’équation $z^{2} - 2 \sqrt{2} z - 2 = 0$ admet deux solutions réelles distinctes.

Étape 3 Ces deux solutions réelles sont :

$z_{1} = \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{16}}{2} = \sqrt{2} + 2$ et $z_{2} = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{16}}{2} = \sqrt{2} - 2$ .

b. Étape 1 Le discriminant est $Δ = 1^{2} - 4 \times 1 \times 1 = - 3$ .

Étape 2 Δ < 0 donc l’équation $z^{2} + z + 1 = 0$ admet deux solutions dans $ℂ$ , qui sont des nombres complexes conjugués.

Étape 3 Ces deux solutions complexes conjuguées sont :

$z_{1} = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ et $z_{2} = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ .

À noter
L’équation du second degré $z^{2} + z + 1 = 0$ n’a pas de solution dans $ℝ$ .

c. Étape 1 Le discriminant est $Δ = {(- 6)}^{2} - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$ .

Étape 2 Δ = 0 donc, dans $ℂ$ , l’équation $z^{2} - 6 z + 9 = 0$ admet une solution réelle double.

Étape 3 Cette solution est $z_{0} = \frac{6}{2} = 3$ .

Équations du second degré dans ℂ à coefficients réels

I) Forme canonique d’un trinôme az ² + bz + c = 0, a ≠ 0

II) Résolution dans ℂ de l’équation az ² + bz + c = 0, a ≠ 0

Méthode

Résoudre une équation du second degré dans ℂ

Solution