Certaines équations du second degré n’ont pas de solution dans ℝ. Dans , toutes ont deux solutions, distinctes ou confondues, donc tout trinôme du second degré peut être factorisé.
I) Forme canonique d’un trinôme az ² + bz + c = 0, a ≠ 0
Une équation du second degré dans à coefficients réels est une équation de la forme az² + bz + c = 0, où a, b et c sont trois nombres réels avec a ≠ 0, et où l’inconnue z est un nombre complexe.
La forme canonique du trinôme du second degré est :
où est le discriminant de l’équation (ou du trinôme) du second degré.
II) Résolution dans ℂ de l’équation az ² + bz + c = 0, a ≠ 0
On étudie le signe du discriminant .
1er cas :
car Δ = ()2.
Les solutions sont et , qui sont deux nombres réels distincts.
2e cas :
.
La solution, dite double, est , qui est un nombre réel.
3e cas :
Dans ce cas, et , soit
Les solutions sont et , qui sont deux nombres complexes conjugués.
Méthode
Résoudre une équation du second degré dans ℂ
a. Résoudre dans l’équation .
b. Résoudre dans l’équation .
c. Résoudre dans l’équation .
Conseils
Étape 1 On calcule le discriminant de l’équation.
Étape 2 En fonction du signe du discriminant, on déduit le nombre de solutions de l’équation du second degré dans .
Étape 3 On donne l’expression de la (ou des) solution(s) de l’équation du second degré dans en utilisant les valeurs numériques de a, b et c.
Solution
a. Étape 1 Le discriminant est .
Étape 2 Δ > 0 donc, dans , l’équation admet deux solutions réelles distinctes.
Étape 3 Ces deux solutions réelles sont :
et .
b. Étape 1 Le discriminant est .
Étape 2 Δ < 0 donc l’équation admet deux solutions dans , qui sont des nombres complexes conjugués.
Étape 3 Ces deux solutions complexes conjuguées sont :
et .
À noter
L’équation du second degré n’a pas de solution dans .
c. Étape 1 Le discriminant est .
Étape 2 Δ = 0 donc, dans , l’équation admet une solution réelle double.
Étape 3 Cette solution est .