Équations du second degré dans ℂ à coefficients réels

Certaines équations du second degré n’ont pas de solution dans ℝ. Dans ℂ, toutes ont deux solutions, distinctes ou confondues, donc tout trinôme du second degré peut être factorisé.

I) Forme canonique d’un trinôme az ² + bz + c = 0, a ≠ 0

Une équation du second degré dans ℂ à coefficients réels est une équation de la forme az² + bz + c = 0, où a, b et c sont trois nombres réels avec a ≠ 0, et où l’inconnue z est un nombre complexe.

La forme canonique du trinôme du second degré az2+bz+c est :

$az^2+bz+c = a\big((z+\frac{b}{2a})^2\minus \frac{b^2\minus4ac}{4a^2}\big)$

$=a\big((z+\frac{b}{2a})^2\minus\frac{\Delta}{4a^2}\big)$

où Δ=b2−4ac est le discriminant de l’équation (ou du trinôme) du second degré.

II) Résolution dans ℂ de l’équation az ² + bz + c = 0, a ≠ 0

On étudie le signe du discriminant Δ=b2−4ac.

1^er cas : Δ>0

az2+bz+c=az−−b+Δ2az−−b−Δ2a car Δ = (Δ)².

Les solutions sont z1=−b+Δ2a et z2=−b−Δ2a, qui sont deux nombres réels distincts.

2^e cas : Δ=0

az2+bz+c=az+b2a2.

La solution, dite double, est z0=−b2a, qui est un nombre réel.

3^e cas : Δ<0

Dans ce cas, −Δ>0 et Δ=−1×−Δ=i2×−Δ2, soit Δ=i−Δ2.

az2+bz+c=az−−b+i−Δ2az−−b−i−Δ2a

Les solutions sont z1=−b+i−Δ2a et z2=z1¯=−b−i−Δ2a, qui sont deux nombres complexes conjugués.

Conseils

Étape 1 On calcule le discriminant de l’équation.

Étape 2 En fonction du signe du discriminant, on déduit le nombre de solutions de l’équation du second degré dans ℂ.

Étape 3 On donne l’expression de la (ou des) solution(s) de l’équation du second degré dans ℂ en utilisant les valeurs numériques de a, b et c.

À noter

L’équation du second degré z2+z+1=0 n’a pas de solution dans ℝ.