Polynômes et racines n-ièmes de l'unité

Nous allons donner des propriétés des racines de polynômes de degré n, puis déterminer les solutions du polynôme $\text{P}\left(\text{z}\right)={\text{z}}^{\text{n}}-1$, qui sont les racines n-ièmes de l’unité.

I) Racines de polynômes de degré n

On appelle polynôme de degré $n\ge 1$ à coefficients réels une fonction P définie sur $\text{ℂ}$ (et à valeurs dans $\text{ℂ}$) par :

$P\left(z\right)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_0$ et $\left(a_n,a_{n-1},\dots ,a_1,a_0\right)\in {\text{ℝ}}^{n+1}.$

Propriétés :

Soient $a\in \text{ℂ}$ et P un polynôme de degré n.

P est la fonction nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Le polynôme $z^n-a^n$ peut être factorisé par $z-a$.

Si P(a) = 0, le polynôme P peut être factorisé par $z-a$.

P, qui est un polynôme de degré n, admet au plus n racines.

II) Racines n -ièmes de l’unité

Soit $n\in \text{ℕ}$ tel que $n\ge 2$.

Une racine n-ième de l’unité est un nombre complexe vérifiant $z^n=1$.

L’ensemble ${\text{U}}_n=\left(z\in \text{ℂ} \text{tel que }{z}^n=1\right)$ des racines n-ièmes de l’unité est :

$U_n = \big(e\frac{2ik\pi}{n}~\text{avec}~k \in (0;1;2;…; n−1)\big)$

$=(1;e\frac{2i\pi}{n};e\frac{4i\pi}{n};…;e\frac{2(n−1)i\pi}{n})$

Leur module est 1 et un de leurs arguments est $\frac{2k\text{π}}{n}$, donc leurs images sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle trigonométrique.

Exemples :

On a notamment :

U2=z∈ℂ tel que z2=1=1 ; − 1.

U3=e2ikπ3 avec k∈0 ; 1 ; 2=e0=1 ; e2iπ3=−12+i32 ; U4=z∈ℂ tel que z4=1=1 ; − 1 ; i ; − i.

Conseils

a. Développez l’expression $\left(z^2+1\right)\left(z^2-16z+89\right)$, pour tout $z\in \text{ℂ}$.

b. Résolvez deux équations du second degré en remarquant notamment que $z^2+1=z^2-{\text{i}}^2.$

À noter

Δ < 0 donc les solutions de l’équation du second degré sont des nombres complexes conjugués.

Conseils

Factoriser l’expression $z^4-1$ à l’aide d’une identité remarquable.