Théorème du point fixe

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Fonctions continues et suites convergentes

I. Image d’une suite par une fonction

Définition : Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant tous les termes $u_n$.
L’image de la suite $(u_n)$ par la fonction $f$ est la suite $(f(u_n))$.

Exemple :
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 2n + 1$ et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ par $f(x) = \sqrt{x}$.
Pour tout entier naturel $n$, $2n + 1 \in \mathbb{R}^+$ et $I = \mathbb{R}^+$.
Ainsi, l’image de la suite $(u_n)$ par la fonction $f$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par :
$f(u_n) = \sqrt{2n + 1}$.

II. Image d’une suite convergente par une fonction continue

Propriété :
Soit $(u_n)$ une suite qui converge vers un nombre réel $l$.
Soit $I$ un intervalle tel que $l \in I$ et pour tout entier naturel $n$, $u_n \in I$.
Pour toute fonction $f$ définie sur l’intervalle $I$ et continue en $l$, la suite $(f(u_n))$ converge vers le nombre réel $f(l)$. On a :

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f\left(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n\right) = f(l)$

Exemple :
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par :

$v_n= \sqrt{\dfrac{1}{n^2} + 1}$

On pose, pour $n \geq 1$, $u_n = \dfrac{1}{n} + 1$ et $f$ la fonction racine carrée définie sur $I = \mathbb{R}^+$.

Pour $n \geq 1$, $u_n = \dfrac{1}{n^2} + 1 \geq 1$. Ainsi, pour tout $n \geq 1$, $u_n \in I$, donc $v_n = f(u_n)$.

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{n^2} + 1\right) = 1$

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$, donc la suite $(v_n)$ converge vers $f(l)$, c’est-à-dire $\sqrt{1}$.

Ainsi, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 1$

III. Suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$

Théorème du point fixe :
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ dans lui-même et $(u_n)$ la suite définie par un réel $u_0 \in I$, et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
Si $(u_n)$ converge vers $l \in I$, alors $l$ est solution de l’équation $f(x) = x$.

Démonstration :
On considère une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $I$.
Soit $(u_n)$ une suite d’éléments de $I$ convergeant vers un réel $l \in I$.
On sait que, d’après la propriété de B :
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = l$.

Ainsi :
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(u_n)$

$\phantom{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} }= f\left(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n\right)$

$\phantom{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} }= f(l)$,
d’où $f(l) = l$.