Continuité en un point ou sur un intervalle

Signaler

Soit II un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur de R\mathbb{R}

Intuitivement, une fonction continue sur II est une fonction dont on peut représenter dans un repère du plan la courbe représentative sans lever le crayon.

picture-in-text
Dans tout ce qui suit, II est un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur. De plus, aa est une valeur de II.

Définition 1
Soit ff une fonction définie sur l'intervalle II. On dit que ff est continue en aa si limxaf(x)=f(a)\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Remarque importante :
Pour les fonctions définies de façon différente à gauche et à droite de aa, on montre la continuité en calculant les limites à droite et à gauche de aa.

Point méthode :

Pour étudier la continuité en aa d’une fonction ff :

\circ\quad On calcule la limite de ff en aa pour x < a.

\circ\quad On calcule la limite de ff en aa pour x > a.

\circ\quad On compare les limites de ff obtenues à f(a)f(a) :
Si limxaf(x)=limxa+f(x)=f(a)\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a), alors ff est continue en aa.

Exemples :

1- La fonction f:xxf:x\mapsto|x| est continue au point 00, en effet :
limx0f(x)=limx0x=0=f(0)\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}|x|=0=f(0)

2- Étudions la continuité en 00 de la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par {g(x)=1x+2 si x<0g(x)=x+1 si x0\left\lbrace\begin{matrix} g(x)=\dfrac{1}{x+2} \text{ si }x\lt 0 \\ g(x)=\sqrt{x}+1 \text{ si } x\geq 0 \end{matrix} \right.
On a :
limx0g(x)=limx01x+2=12\displaystyle\lim_{x\to 0^-}g(x)=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{2}
limx0+g(x)=limx0+x+1=1\displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)=\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}+1=1
Il s'ensuit limx0g(x)limx0+g(x)\displaystyle\lim_{x\to 0^-}g(x)\neq \displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x) et donc gg n'admet pas de limite au point 00.
Ce qui implique que gg ne peut pas être continue en 00.

Définition 2
Soit ff une fonction définie sur l'intervalle II. On dit que ff est continue sur II si ff est continue en tout point de II

Propriété :
\circ\quad Si ff est dérivable en aa, alors ff est continue en aa.

mais attention : la réciproque est fausse, en voici une illustration
picture-in-textLa fonction valeur absolue est continue en 00 mais pas dérivable en 00 .


Exemples (admis) :
Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction racine carrée et les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont continues sur tout intervalle inclus dans leurs ensembles de définition respectifs.

Théorèmes (admis)
Soient ff et gg deux fonctions continues en aa (respectivement sur II) : Si α\alpha est un réel, alors αf\alpha f est continue en aa (respectivement sur II)f+gf+g est continue en aa (respectivement sur II)f×gf\times g est continue en aa (respectivement sur II)

Propriété :

\circ\quad La somme , le produit de deux fonctions continues sur II.

\circ\quad Si ff est continue sur II et gg continue et non nulle sur II alors le quotient fg\dfrac fg de est continue sur II.



Exemples :

1- La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+3x5+sin(x)f(x)= x^2+3x-5+\sin(x) est continue sur R\mathbb{R} car elle est la somme des deux fonctions xx2+3x5x\mapsto x^2+3x-5 et xsin(x)x\mapsto \sin(x) continues sur R\mathbb{R}.

2- La fonction xxxx\mapsto x\sqrt{x} est une fonction continue sur ]0;+[]0;+\infty[ comme produit des deux fonctions xxx\mapsto x et xxx\mapsto\sqrt{x} continues sur cet intervalle.

Supplément : La fonction partie entière

Définition
La fonction partie entière est une fonction qui associe à chaque réel sa partie entière. On la note xE(x)x\mapsto \text{E}(x) ou x[x]x\mapsto [x].
On sait que chaque réel xx peut être encadré par deux entiers relatifs consécutifs nn et n+1n+1. La partie entière de xx n'est autre que l'entier relatif n:E(x)=n avec nx<n+1n : \text{E}(x)=n \text{ avec } n\leq x\lt n+1

Par exemple :
E(1,456)=1 puisque 11,456<2\text{E}(1,456)=1 \text{ puisque } 1\leq 1,456\lt 2
E(73)=2 car 2732,333<3\text{E}\left(\dfrac{7}{3}\right)=2 \text{ car } 2\leq\dfrac{7}{3}\approx 2,333\lt 3
E(13)=4 puisque 4133,6<3\text{E}(-\sqrt{13})=-4 \text{ puisque } -4\leq -\sqrt{13}\approx-3,6\lt -3

Représentation graphique de la fonction partie entière :

picture-in-text

Propriété : La fonction partie entière n'est pas continue en chaque entier relatif nZn\in\mathbb{Z}.
Par contre, elle est continue sur tous les intervalles ]n,n+1[]n,n+1[

En effet, pour tout nZ:limxnE(x)=n1 et limxn+E(x)=n\text{En effet, pour tout } n\in\mathbb{Z} : \displaystyle\lim_{x\to n^-}\text{E}(x)=n-1 \text{ et } \displaystyle\lim_{x\to n^+}\text{E}(x)=n

Composée de deux fonctions continues
Soit ff une fonction définie sur II, gg une fonction définie sur un intervalle JJ contenant f(I)f(I) et aa un réel de II.

  • Si ff est continue en aa et si gg est continue en f(a)f(a), alors gofgof est continue en aa.

  • Si ff est continue sur II et si gg est continue sur f(I)f(I), alors gofgof est continue sur II.



Exemple :
La fonction xcos(x23x+7)x\mapsto \cos(x^2-3x+7) est continue sur R\mathbb{R} comme composée des deux fonctions xcos(x)x\mapsto \cos(x) et xx23x+7x\mapsto x^2-3x+7 continues sur R\mathbb{R}.