Soit un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur de
Intuitivement, une fonction continue sur est une fonction dont on peut représenter dans un repère du plan la courbe représentative sans lever le crayon.
Dans tout ce qui suit, est un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur. De plus, est une valeur de .
Définition 1
Soit une fonction définie sur l'intervalle . On dit que est continue en si
Remarque importante :
Pour les fonctions définies de façon différente à gauche et à droite de , on montre la continuité en calculant les limites à droite et à gauche de .
Point méthode :
Pour étudier la continuité en d’une fonction :
On calcule la limite de en pour x < a.
On calcule la limite de en pour x > a.
On compare les limites de obtenues à :
Si , alors est continue en .
Exemples :
1- La fonction est continue au point , en effet :
2- Étudions la continuité en de la fonction définie sur par
On a :
Il s'ensuit et donc n'admet pas de limite au point .
Ce qui implique que ne peut pas être continue en .
Définition 2
Soit une fonction définie sur l'intervalle . On dit que est continue sur si est continue en tout point de
Propriété :
Si est dérivable en , alors est continue en .
mais attention : la réciproque est fausse, en voici une illustration La fonction valeur absolue est continue en mais pas dérivable en .
Exemples (admis) :
Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction racine carrée et les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont continues sur tout intervalle inclus dans leurs ensembles de définition respectifs.
Théorèmes (admis)
Soient et deux fonctions continues en (respectivement sur ) : Si est un réel, alors est continue en (respectivement sur ) est continue en (respectivement sur ) est continue en (respectivement sur )
Propriété :
La somme , le produit de deux fonctions continues sur .
Si est continue sur et continue et non nulle sur alors le quotient de est continue sur .
Exemples :
1- La fonction définie sur par est continue sur car elle est la somme des deux fonctions et continues sur .
2- La fonction est une fonction continue sur comme produit des deux fonctions et continues sur cet intervalle.
Supplément : La fonction partie entière
Définition
La fonction partie entière est une fonction qui associe à chaque réel sa partie entière. On la note ou .
On sait que chaque réel peut être encadré par deux entiers relatifs consécutifs et . La partie entière de n'est autre que l'entier relatif
Par exemple :
Représentation graphique de la fonction partie entière :
Propriété : La fonction partie entière n'est pas continue en chaque entier relatif .
Par contre, elle est continue sur tous les intervalles
Composée de deux fonctions continues
Soit une fonction définie sur , une fonction définie sur un intervalle contenant et un réel de .
Si est continue en et si est continue en , alors est continue en .
Si est continue sur et si est continue sur , alors est continue sur .
Exemple :
La fonction est continue sur comme composée des deux fonctions et continues sur .