Taux d'évolution successifs ou réciproques

I. Taux d’évolution successifs

a) Définition

Lorsqu’une grandeur subit plusieurs évolutions successives, on ne peut pas additionner les taux d’évolution. On doit utiliser une formulation multiplicative.

Si une grandeur évolue de $t_1$ puis de $t_2$, la variation globale est équivalente à une multiplication par : $\left(1 + \dfrac{t_1}{100}\right) \times \left(1 + \dfrac{t_2}{100}\right)$

On appelle taux d’évolution global le taux unique $t$ tel que :
$\left(1 + \dfrac{t}{100}\right) = \left(1 + \dfrac{t_1}{100}\right) \times \left(1 + \dfrac{t_2}{100}\right)$

b) Exemple d’application

Un prix augmente de 10 %, puis de 20 %. Quel est le taux d’évolution global ?

On convertit les pourcentages en multiplicateurs :

• $1{,}10$ pour $+10\%$

• $1{,}20$ pour $+20\%$

Multiplication :
$1{,}10 \times 1{,}20 = 1{,}321$

Donc, le taux d’évolution global est :
$1{,}32 - 1 = 0{,}32 = 32\%$

Conclusion : Une augmentation de 10% puis 20% correspond à une augmentation globale de 32%.

II. Taux d’évolution réciproque

a) Définition

Si une grandeur augmente (ou diminue) d’un certain taux $t$, le taux pour revenir à la valeur initiale n’est pas $-t$, mais un taux d’évolution réciproque.

Si une quantité est multipliée par $1 + \dfrac{t}{100}$, le taux réciproque est celui qui permet de retrouver la valeur de départ en multipliant par : $\dfrac{1}{1 + \dfrac{t}{100}}$

b) Exemple d’application

Un prix a augmenté de 25 %. Quel est le taux de baisse nécessaire pour retrouver le prix initial ?

Multiplicateur initial : $1{,}25$

Pour revenir à l’origine : on multiplie par $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,8}$

Donc le taux de baisse est :
$0{,}8 - 1 = -0{,}2 = -20\%$

Conclusion : Une hausse de 25% est annulée par une baisse de 20%.

III. Résumé à retenir

• Pour plusieurs évolutions successives : on multiplie les coefficients multiplicateurs.

• Le taux global n’est pas la somme des taux.

• Pour revenir à la valeur d’origine : on calcule le taux réciproque à l’aide de l’inverse du coefficient multiplicateur.