Maîtriser les fractions

I. Définitions essentielles

Une fraction est une écriture de la forme $\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, et $b \ne 0$.

• $a$ est le numérateur.

• $b$ est le dénominateur.

• Elle représente le quotient de $a$ par $b$.

Exemples :

• $\dfrac{1}{2}$ se lit « un demi ».

• $\dfrac{3}{4}$ se lit « trois quarts ».

II. Comparer des fractions simples

a) Même dénominateur

On compare les numérateurs.

Exemples :

• $\dfrac{3}{8} \lt \dfrac{5}{8}$ car $3 \lt 5$

• $\dfrac{6}{9} \gt \dfrac{2}{9}$ car $6 \gt 2$

b) Même numérateur

On compare les dénominateurs : plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite.

Exemples :

• $\dfrac{1}{3} \gt \dfrac{1}{4}$ car $1$ est partagé en moins de parts.

• $\dfrac{5}{6} \lt \dfrac{5}{5}$ car $6 \gt 5$

c) Dénominateurs différents

On réduit au même dénominateur (le plus petit commun multiple), puis on compare.

Exemple :
Comparer $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{5}$.

On réduit au même dénominateur $15$ :

• $\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}$

• $\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}$

Donc $\dfrac{2}{3} \gt \dfrac{3}{5}$.

III. Effectuer des opérations

a) Addition et soustraction

On réduit les fractions au même dénominateur, puis on additionne ou on soustrait les numérateurs.

Exemple 1 : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4}$

Exemple 2 : $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6}$
On réduit au dénominateur $6$ :

• $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$
  Donc $\dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

b) Multiplication

On multiplie les numérateurs entre eux, puis les dénominateurs entre eux.

Exemple : $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15}$

c) Division

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Exemple : $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$

IV. Simplifier une fraction

On divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun.

Exemple : $\dfrac{6}{9} = \dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{2}{3}$

V. Exemples d'application

1. Comparaison

Comparer $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{4}{7}$.

• $\dfrac{3}{5} = \dfrac{21}{35}$

• $\dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{35}$
  Donc $\dfrac{3}{5} \gt \dfrac{4}{7}$.

2. Calcul

Calculer : $\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{4}$

• $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$ ; $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$
  Donc $\dfrac{10}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{13}{12}$

VI. Conseils de méthode

• Toujours simplifier la fraction finale si possible.

• Utiliser une représentation visuelle (ex : bande ou cercle) pour aider à comparer.

• Vérifier que les opérations gardent un dénominateur commun pour additions/soustractions.