Tangente à la courbe d'une fonction

I. Définition

La sécante noire pivote autour du point fixe $A$ de la courbe lorsque le point $M$ se rapproche de $A$. La position limite de cette sécante est la droite rouge, appelée tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A$.

II. Propriété

$f$ est une fonction dérivable en un réel $a$ de $I$.
Dans un repère, la tangente à la courbe représentative $C$ de la fonction $f$ au point d’abscisse $a$ est la droite $T$ qui passe par le point $A(a\;;\;f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

Une équation de la tangente 𝑻 est : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Démonstration

La tangente a une équation de la forme $y = mx + p$ où $m = f'(a)$.

Donc on a $y = f'(a)x + p$.

Or, $A(a ; f(a))$ appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite.

$f(a) = f'(a) \times a + p$

$\Leftrightarrow f(a) - a f'(a) = p$

Donc on a :

$y = f'(a)x + f(a) - a f'(a)$

$\Leftrightarrow y = f'(a)(x - a) + f(a)$

III. Tracé de la tangente

Il peut être demandé de tracer la tangente à la courbe au point de la courbe d'abscisse $a$.

Pour cela il est inutile de chercher une équation de la tangente, il suffit de tracer un vecteur directeur de la tangente, en en connaissant son coefficient directeur.

Exemple : Soit $f(x)=\dfrac{1}{x}$, fonction dont la courbe est connue depuis la classe de seconde.

On aimerait tracer la tangente à la courbe au point d'abscisse 2. Il est facile de montrer (avec la définition du nombre dérivable) que $f'(2)=-\dfrac{1}{4}$.

La tangente au point de la courbe d'abscisse $2$ admet donc pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{4}$.

On place le point de la courbe $A(2\,;\,\frac{1}{2})$, et on trace à partir de $A$ un vecteur directeur $\overrightarrow{U}(1\,;\,-\dfrac{1}{4})$ ou pour plus de commodité, un vecteur directeur colinéaire au précédent $\overrightarrow{V}(4;\,-1)$.