La limite d’une suite géométrique dépend de sa raison. On ne considérera que les suites géométriques de raison positive et strictement inférieure à 1.

I) Suites géométriques

On considère les suites géométriques de raison q positive.

Rappel : Soit une suite (u_n) géométrique de premier terme u₀ et de raison q. On a pour tout $n \in ℕ$ :

$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$

À noter
Une suite géométrique u de raison q est définie pour tout $n \in ℕ$ par $u_{n + 1} = u_{n} \times q .$

Théorème :

Si $0 ⩽ q < 1$ alors $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$

À noter
Si q = 1 alors la suite de terme général qⁿ est constante égale à 1.
Si q = −1 alors la suite de terme général qⁿ est bornée, et vaut alternativement −1 et 1.

Remarques :

Si q = 1 alors $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 1$ .

Si q > 1 alors $0 < \frac{1}{q} < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {(\frac{1}{q})}^{n} = 0$ .

À noter
On a pour tout $n \in ℕ$ , $e^{- n} = {(\frac{1}{e})}^{n}$ et $- 1 < \frac{1}{e} < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {(\frac{1}{e})}^{n} = 0$ soit $\lim_{n \to + \infty} e^{- n} = 0$ .

II) Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique

Rappel : On a pour tout réel q ≠ 1 :

$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$

Théorème :

Si $0 ⩽ q < 1$ alors $\lim_{n \to + \infty} (1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}) = \frac{1}{1 - q}$

Méthodes

1) Étudier la limite de suites géométriques

Étudier la limite des suites de termes généraux :

_{$u_{n} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{n}$} ; $v_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ et $w_{n} = \frac{1 - 2^{n}}{3^{n}}$ .

Conseils
Pour la suite (u_n), appliquez le théorème ; pour (v_n), remarquez que $\frac{1}{2^{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ ; pour (w_n), « distribuez » le dénominateur.

Solution

L’arrondi au dixième de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ est 0,7 donc $0 ⩽ \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .

On a pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ et $0 ⩽ \frac{1}{2} < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ .

Pour tout $n \in ℕ$ , $w_{n} = \frac{1}{3^{n}} - \frac{2^{n}}{3^{n}} = {(\frac{1}{3})}^{n} - {(\frac{2}{3})}^{n}$ . De plus, $0 ⩽ \frac{1}{3} < 1$ et $0 ⩽ \frac{2}{3} < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {(\frac{1}{3})}^{n} =$ $\lim_{n \to + \infty} {(\frac{2}{3})}^{n} = 0$ , d’où par différence $\lim_{n \to + \infty} w_{n} = 0$ .

2) Déterminer la limite d’une somme de termes consécutifs

Soit n un entier naturel non nul. Déterminer la limite des sommes suivantes :

$S_{n} = 1 + 0,25 + {0,25}^{2} + \dots + {0,25}^{n}$

_{$T_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$}

$D_{n} = 0,1 + 0,01 + \dots + {0,1}^{n}$

Conseils
Pour S_n, appliquez directement le théorème ; pour T_n, considérez une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ ; pour D_n, remarquez qu’il manque le premier terme pour pouvoir appliquer directement le théorème.

Suites géométriques et limites