La plupart des suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques. On utilise parfois une suite auxiliaire arithmétique ou géométrique pour étudier des suites quelconques. C’est le cas pour les suites arithmético-géométriques qui peuvent modéliser l’évolution d’une population.
I) Définition
Soient a et b deux réels et (un) une suite telle que pour tout entier naturel n :
Si a est différent de 0 et de 1, et si b est différent de 0, on dit que la suite (un) est arithmético-géométrique.
À noter
On peut remarquer que si a = 1, la suite est arithmétique et que si b = 0, la suite est géométrique ; enfin, si a = 0, la suite est constante à partir du rang 1.
II) Solution particulière constante
Théorème :
Soient a et b deux réels, a ≠ 1. Il existe une unique suite constante (cn) telle que pour tout entier naturel n, ; elle vérifie, pour tout entier naturel n, .
III) Utilisation de la suite auxiliaire constante
Soient a et b deux réels et (un) une suite arithmético-géométrique, telle que pour tout entier naturel n, .
Théorème : La suite définie, pour tout entier naturel n, par est une suite géométrique de raison a.
Conséquences :
Pour tout entier naturel n, avec .
Pour tout entier naturel n, .
Si alors .
Remarque : Si la suite (un) est définie à partir du rang 1, on a pour tout entier naturel n non nul, avec et .
Méthodes
1) Déterminer une solution constante
On considère la suite (un) définie pour tout par :
Déterminer une suite constante vérifiant la même relation de récurrence que la suite (un).
Conseil
Il suffit de résoudre l’équation .
2) Utiliser une suite auxiliaire constante
On considère la suite (un) définie pour tout par :
a. Montrer que la suite de terme général est géométrique. En donner le premier terme et la raison.
b. En déduire, pour tout entier naturel n, les expressions de vn puis de un en fonction de n.
Conseils
Pour montrer que la suite (vn) est géométrique, exprimez vn + 1 en fonction de un + 1 ; déduisez-en vn + 1 en fonction de un ; concluez en factorisant par 3. On rappelle pour la fin de la question qu’une suite géométrique de raison k a pour terme général et on remarque que .
Solution
a. Pour tout , .
Ainsi, la suite (vn) est géométrique de raison 3, de premier terme .
b. Pour tout , .
Pour tout , d’où soit .