Limites, comparaison et encadrement

La limite éventuelle d’une suite donne une idée de son comportement asymptotique. Il est souvent pratique de trouver cette limite en la comparant avec celles de suites au comportement bien connu.

I) Définitions

1) Limite infinie

Une suite de terme général u_n admet pour $\text{limite}+\infty$ si elle dépasse toute valeur pour n suffisamment grand. On note $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

Une suite de terme général u_n admet pour $\text{limite}-\infty$ si la suite de terme général −u_n admet pour limite + ∞. On note $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$.

2) Limite finie

Une suite de terme général u_n admet pour limite un réel ℓ si elle est aussi proche de ℓ que l’on veut pour n suffisamment grand. On note $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=$ ℓ.

II) Limites et inégalités

Théorème de comparaison

Soit N un entier naturel, soient ℓ et ℓ′ des réels, et soient (u_n) et (r_n) des suites réelles telles que pour tout entier $n\in \text{ℕ},u_n\text{⩾}{r}_n$ :

 si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ell$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n={\ell }^{\prime }$ alors $\ell \text{⩾}{\ell }^{\prime }$.

 si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n=+\infty$ alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

Théorème d’encadrement (dit « des gendarmes »)

Soit ℓ un réel, soit $N\in \text{ℕ}$, soient (r_n) et (s_n) des suites réelles de même limite ℓ. Si pour tout entier $n\text{⩾}N$, $s_n\text{⩽}{u}_n\text{⩽}{r}_n$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ell$.

III) Limites et opérations

Conseil

Encadrez (−1)ⁿ.

Conseil

Étudiez les limites des suites de termes généraux n + 1, $n+\frac{1}{n}$, $1-\frac{1}{n}$.