Suite numérique : du vocabulaire

I. Définition

Une suite numérique est une liste infinie de nombres réels où chaque terme est numéroté (le rang). Une suite numérique $u$ ou $(u_n)$ est une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ telle que :

$u:n↦u(n)=u_n$

$n$ est appelé indice de $u$ et $u_n$ est appelé terme d’indice $n$, aussi nommé terme général de la suite $(u_n)$. Il joue le même rôle que l’expression $f(x)$ d’une fonction $f$.

Exemple : $u : n \mapsto u(n) = u_n$

$\checkmark$ $n$ est appelé indice de $u$

$\checkmark$ $u_n$ est appelé terme d’indice $n$, aussi nommé terme général de la suite $(u_n)$. Il joue le même rôle que l’expression $f(x)$ d’une fonction $f$.

Exemple (qui ne suit aucune loi particulière) :

$\checkmark$ $u_0$ est le terme initial.

$\checkmark$$u_{n-1}$, $u_n$, $u_{n+1}$ sont des termes consécutifs. $u_{n-1}$précède $u_n$ ; $u_{n+1}$ est le successeur de $u_n$.

Remarque : Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n = \dfrac{1}{n}$

0 n’a pas d’image ! Le terme initial est $u_1$ d’indice 1 et donc de rang 1.

II. Application

Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n = n(n - 1)$ pour $n\in \mathbb N$.

$\circ\quad$ Exprimer $u_{n-1}$, $u_{n+1}$, $u_{2n}$.

$u_{n-1} = (n - 1)(n - 1 - 1)$

$\phantom{u_{n-1} }= (n - 1)(n - 2)$

$\phantom{u_{n-1} }= n^2 - 3n + 2$

$u_{n+1} = (n + 1)n$

$\phantom{u_{n-1} }= n^2 + n$

$u_{2n} = 2n(2n - 1)$

$\phantom{u_{2n} }= 4n^2 - 2n$

$\circ\quad$ Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + 2n$

$u_n + 2n = n(n - 1) + 2n$

$\phantom{u_n + 2n}= n^2 - n + 2n$

$\phantom{u_n + 2n}= n^2 + n$

$\phantom{u_n + 2n}= u_{n+1}$