Suite définie par une forme explicite

Une suite est définie par formule explicite si on peut calculer directement n’importe quel terme à partir de son indice. Il existe alors une fonction $f$ telle que

$u_n = f(n)$ ( $u_n$ en fonction de $n$ ), $f$ étant définie sur $[a ; +\infty[$ , $a \in \mathbb{R}$.

Exemple : Soit $u_n = \sqrt{n + 1}$, on a $u_n = f(n)$ avec $f(x) = \sqrt{x + 1}$, et $x \in [0 ; +\infty[$.

Représentation graphique

La représentation graphique de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = f(n)$ est constituée de tous les points de coordonnées $(n ; u_n)$.

Exemple : Soit $u_n = \sqrt{n + 1}$. On associe cette suite à la fonction $f(x) = \sqrt{x + 1}$ pour $x \in [0 ; +\infty[$.

La représentation d’une telle suite est un nuage de points. On trace en général la fonction $f$ puis on fait apparaître les points correspondant aux valeurs entières et positives (ou nulles) de l’ensemble de définition de $f$.

Il est incohérent de placer un point en $n = 1,5 \notin \mathbb{N}$.

Conseil :

Lorsque l'énoncé donne une expression de $u_n$ et que, pour les besoins d'une démonstration on désire obtenir $u_{n+1}$, il suffit de remplacer la lettre $n$ par le bloc $(n+1)$.

Exemple : Pour $n\in \mathbb N$, on donne $u_n=\dfrac{1-2n}{n+3}$. Exprimer $u_{n+1}$.

$u_{n+1}=\dfrac{1-2(n+1)}{(n+1)+3}=\dfrac{1-2n-2}{n+1+3}=\dfrac{-2n-1}{n+4}$