Suite de matrices colonnes

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I. Propriétés

On considère une suite $(U_n)$ de matrices colonnes telle que
$U_{n+1} = A U_n + B$ pour tout entier naturel $n$.

$\circ\quad$ S’il existe une matrice $X$ telle que $AX + B = X$, alors la suite $(V_n)$ définie par
$V_n = U_n - X$ vérifie : $V_{n+1} = A V_n$

Dans ce cas, on a : $U_n = A^n (U_0 - X) + X$ pour tout entier $n$.

$\circ\quad$ Si $(U_n)$ est une suite convergente, alors elle converge vers une matrice $U$ vérifiant
$AU + B = U$.

Démonstration :

Soit une suite $(U_n)$ de matrices colonnes telle que
$U_{n+1} = A U_n + B$ pour tout entier $n$.

$\circ\quad$ S’il existe une matrice $X$ telle que $AX + B = X$, on définit la suite $(V_n)$ par :
$V_n = U_n - X$

Alors : $V_{n+1} = U_{n+1} - X = A U_n + B - (AX + B) = A U_n - AX = A (U_n - X) = A V_n$

La suite $(V_n)$ est donc une suite géométrique de raison $A$, donc : $V_n = A^n V_0$ pour tout entier $n$.

Or $V_0 = U_0 - X$, donc : $V_n = A^n (U_0 - X)$ pour tout entier $n$

Et comme $V_n = U_n - X$, alors : $U_n = V_n + X = A^n (U_0 - X) + X$ pour tout entier $n$.

$\circ\quad$ Si $(U_n)$ est une suite convergente, soit $U$ sa limite. Alors :
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} U_n = U$

D'une part :
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} (A U_n + B)$

$\phantom{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_{n+1} }= A \left( \lim_{n \to +\infty} U_n \right) + B$

$\phantom{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_{n+1} }= AU + B$

D'autre part : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_{n+1} = U$

Donc $U$ vérifie bien : $AU + B = U$

II. Un exercice rédigé

Dans un entrepôt logistique, deux zones de stockage, notées A et B, contiennent chacune 100 palettes de produits. Un logiciel ajuste automatiquement les quantités stockées chaque jour à 8h, selon les règles suivantes :

$\checkmark$ 50 % des palettes en zone A partent définitivement sur camions pour livraison,

$\checkmark$puis 75 % sont transférées de B vers A ;

$\checkmark$à chaque cycle, 200 palettes supplémentaires sont livrées en zone A, et 300 en zone B.

On souhaite savoir la taille des zones de stockage indispensable à gérer ce flux, afin que tout puisse toujours être réceptionné.

On note $a_n$ et $b_n$ les quantités de palettes (en centaines) dans les zones A et B au jour $n$.
On modélise ces données à l’aide de la suite de matrices colonnes $U_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$, où $a_n$ et $b_n$ représentent le nombre de palettes (en centaines) le jour $n$. On sait donc que $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

On définit les matrices : $M = \begin{pmatrix} 0{,}5 \quad 0{,}75 \\ 0 \quad 0{,}25 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\circ\quad$ 1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = M U_n + C$

On considère la matrice $P = \begin{pmatrix} 1 \quad ~0 \\ 3 \quad -1 \end{pmatrix}$

$\circ\quad$ 2a. Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et préciser son inverse.

$\circ\quad$ 2b. Montrer que la matrice $M$ est diagonalisable, en déterminant une matrice diagonale $D$ telle que $M = P D P^{-1}$.

$\circ\quad$ 2c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $M^n = P D^n P^{-1}$.

$\circ\quad$ 2d. Montrer que $M^n = \begin{pmatrix} 0{,}5^n \quad 3 \times 0{,}5^n \\ 0 \quad 0{,}25^n \end{pmatrix}$

$\circ\quad$ 3a. Montrer que la matrice $X = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}$ vérifie $X = M X + C$

$\circ\quad$ 3b. Pour tout entier naturel $n$, on définit $V_n = U_n - X$. Montrer que $V_{n+1} = M V_n$

$\circ\quad$ 3c. En déduire que $V_n = M^n V_0$, où $V_0 = U_0 - X$

$\circ\quad$ 3d. Montrer que $U_n = \begin{pmatrix} -18 \times 0{,}5^n +9\times 0{,}25^n+ 10 \\ -3 \times 0{,}25^n + 4 \end{pmatrix}$

$\circ\quad$ 4a. Montrer que la suite $(b_n)$ est croissante et majorée. En déduire sa limite.

$\circ\quad$ 4b. Déterminer la limite de la suite $(a_n)$

$\circ$ Conclure

Solution : principe de la démonstration

$\circ\quad$ 1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n+1} = M U_n + C$

On modélise la situation :

$\checkmark$À chaque cycle, 50 % des palettes de A partent (il en reste donc 50 %, soit $0{,}5 a_n$).

$\checkmark$75 % des palettes de B sont transférées vers A (soit $0{,}75 b_n$).

$\checkmark$200 palettes (soit $2$ centaines) sont livrées dans A, et 300 palettes (soit $3$ centaines) dans B.

$\checkmark$25 % des palettes de B restent (soit $0{,}25 b_n$).

Ainsi, on a :

$a_{n+1} = 0{,}5 a_n + 0{,}75 b_n + 2$
$b_{n+1} = 0{,}25 b_n + 3$

Ce qui s’écrit sous forme matricielle :

$U_{n+1} = M U_n + C$
avec $M = \begin{pmatrix} 0{,}5 \quad 0{,}75 \\ 0 \quad 0{,}25 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\circ\quad$ 2a. Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et préciser son inverse.

On a : $P = \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 3 \quad -1 \end{pmatrix}$

Alors : $P^2 = \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 3 \quad -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 3 \quad -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{pmatrix} = I_2$

Donc $P$ est inversible et $P^{-1} = P$

$\circ\quad$ 2b. Montrer que la matrice $M$ est diagonalisable, en déterminant une matrice diagonale $D$ telle que $M = P D P^{-1}$.

Pour que $M = P D P^{-1}$, il suffit que $PMP=PPDP^{-1}P$ soit :

$D=PMP$. Après calculs, on trouve que la matrice diagonale $D$ est :
$D = \begin{pmatrix} 0{,}5 \quad 0 \\ 0 \quad 0{,}25 \end{pmatrix}$

$\circ\quad$ 2c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $M^n = P D^n P^{-1}$

Ce résultat se démontre par récurrence, on montre que si $M = P D P^{-1}$, alors $M^n = P D^n P^{-1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

$\circ\quad$ 2d. Montrer que $M^n = \begin{pmatrix} 0{,}5^n \quad 3 \times 0{,}5^n \\ 0 \quad 0{,}25^n \end{pmatrix}$

On a $D^n = \begin{pmatrix} 0{,}5^n \quad\quad 0 \\ 0 \quad\quad 0{,}25^n \end{pmatrix}$

On calcule $M^n = P D^n P^{-1} = P D^n P$ (car $P^{-1} = P$)

Ce produit donne :

$M^n = \begin{pmatrix} 0{,}5^n \quad\quad 3 \times 0{,}5^n -3\times 0,25^n\\ 0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 0{,}25^n \end{pmatrix}$

$\circ\quad$ 3a. Montrer que la matrice $X = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}$ vérifie $X = M X + C$

On calcule :

$M X = \begin{pmatrix} 0{,}5 \times 10 + 0{,}75 \times 4 \\ 0 \times 10 + 0{,}25 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}$

$M X + C = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} = X$

Donc $X = M X + C$

$\circ\quad$ 3b. Pour tout entier naturel $n$, on définit $V_n = U_n - X$. Montrer que $V_{n+1} = M V_n$

On a : $V_{n+1} = U_{n+1} - X = M U_n + C - X = M (U_n - X) + (M X + C - X)$

Or $M X + C = X$, donc : $V_{n+1} = M V_n$

On obtient bien une suite géométrique de matrices.

$\circ\quad$ 3c. En déduire que $V_n = M^n V_0$, où $V_0 = U_0 - X$

$V_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -3 \end{pmatrix}$

En appliquant la propriété du cours, on obtient : $V_n = M^n V_0$

$\circ\quad$ 3d. Montrer que $U_n = \begin{pmatrix} -18 \times 0{,}5^n + 9 \times 0{,}25^n + 10 \\ -3 \times 0{,}25^n + 4 \end{pmatrix}$

On a :

$V_n = M^n V_0$

$\phantom{V_n}= \begin{pmatrix} 0{,}5^n \quad\quad 3 \times 0{,}5^n -3\times 0,25^n\\ 0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 0{,}25^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9 \\ -3 \end{pmatrix}$

Produit :

$a$ : $\scriptsize -9 \times 0{,}5^n - 9 \times 0{,}5^n +9\times 0,25^n= -18 \times 0{,}5^n+9\times 0,25^n$
$b$ : $-3 \times 0{,}25^n$

Donc :

$V_n = \begin{pmatrix} -18 \times 0{,}5^n +9\times 0,25^n\\ -3 \times 0{,}25^n \end{pmatrix}$

Et donc :

$U_n = V_n + X = \begin{pmatrix} -18 \times 0{,}5^n +9\times 0,25^n+ 10 \\ -3 \times 0{,}25^n + 4 \end{pmatrix}$

$\circ\quad$ 4a. Montrer que la suite $(b_n)$ est croissante et majorée. En déduire sa limite.

On a : $b_n = -3 \times 0{,}25^n + 4$

La suite $(0{,}25^n)$ est strictement décroissante, donc $(-3 \times 0{,}25^n)$ est strictement croissante.

Donc $(b_n)$ est croissante.

De plus, $0{,}25^n \to 0$, donc $b_n \to 4$

Comme $b_n \lt 4$, la suite est majorée.

Conclusion : $(b_n)$ est croissante et majorée, donc converge vers $4$

$\circ\quad$ 4b. Déterminer la limite de la suite $(a_n)$

On a : $a_n = -18 \times 0{,}5^n + 9 \times 0{,}25^n + 10$

Les deux premiers termes tendent vers 0, donc : $\lim a_n = 10$

$\circ$ Conclusion

À long terme, les quantités de palettes se stabilisent :

$\checkmark$en zone A : $a_n \to 10$, soit $1000$ palettes

$\checkmark$ en zone B : $b_n \to 4$, soit $400$ palettes

Les capacités minimales des zones de stockage doivent donc être d’au moins $1000$ palettes pour A et $400$ pour B.