Matrices et transformations géométriques du plan

I. Propriétés

Dans un repère $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$, soit deux points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, ainsi qu’un vecteur $\vec{u} \left(\begin{array}{c} x_{\vec{u}} \ y_{\vec{u}} \end{array}\right)$.

$\circ\quad$ Le point $B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ si, et seulement si :

$x_B = x_A + x_{\vec{u}}$
$y_B = y_A + y_{\vec{u}}$

soit : $\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x_{\vec{u}} \\ y_{\vec{u}} \end{pmatrix}$

$\circ\quad$ Le point $B$ est l’image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ si, et seulement si :

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) \quad -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) \quad \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}$

On appelle matrice de rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ la matrice suivante :

$\begin{pmatrix} \cos(\theta) \quad -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) \quad \cos(\theta) \end{pmatrix}$

$\circ\quad$ L’image du vecteur $\vec{u}$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ est le vecteur :

$\begin{pmatrix} \cos(\theta) \quad -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) \quad \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{\vec{u}} \\ y_{\vec{u}} \end{pmatrix}$

II. Exemples

Exemple 1 : Translation

Soit $A(2 ; -1)$ et $\vec{u} \left(\begin{array}{c} 3 \ 5 \end{array}\right)$.

On veut trouver les coordonnées du point $B$ image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$.

$x_B = 2 + 3 = 5$
$y_B = -1 + 5 = 4$

Donc $B(5 ; 4)$.

Exemple 2 : Rotation

Soit $A(2 ; 0)$ et on effectue une rotation de centre $O(0 ; 0)$ et d’angle $\theta = \dfrac{\pi}{2}$.

La matrice de rotation est :

$\begin{pmatrix} \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \quad -\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \\ \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \quad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \quad -1 \\ 1 \quad ~0 \end{pmatrix}$

On applique la rotation :

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \quad -1 \\ 1 \quad ~0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Donc $B(0 ; 2)$ est l’image de $A(2 ; 0)$ par la rotation de $\dfrac{\pi}{2}$ autour de l’origine.