Opérations sur les fonctions dérivables

I. Les résultats

$\checkmark$ Dérivée de $u+v$

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$.

Alors $(u + v)$ est dérivable sur $I$ et on a : $(u + v)' = u' + v'$.

$\checkmark$ Dérivée de $ku$

Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$ et $k \in \mathbb{R}$.

Alors $(ku)$ est dérivable sur $I$ et on a : $(ku)' = k u'$.

$\checkmark$ Dérivée de $u\times v$

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$.

La fonction $u \times v : x \mapsto (u \times v)(x) = u(x) \times v(x)$ est définie et dérivable sur $I$, et on a : $(u \times v)' = u' v + v' u$.

$\checkmark$ Dérivée de $\dfrac{1}{u}$

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $I$ avec $u(x) \neq 0, \forall x \in I$.

La fonction $\dfrac{1}{u}$ est définie et dérivable sur $I$ et on a : $\left( \dfrac{1}{u} \right)' = - \dfrac{u'}{u^2}$.

$\checkmark$ Dérivée de $\dfrac{u}{v}$

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et définies sur $I$ telles que $v'(x) \neq 0, \forall x \in I$.

La fonction $\dfrac{u}{v}$ est définie et dérivable sur $I$, et on a : $\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u' v - v' u}{v^2}$.

$\checkmark$ Dérivée de $f$ définie par $f(x)=g(ax+b)$

Soit $g$ une fonction définie sur $I$. Soit $J$ l’intervalle tel que $\forall x \in J$, $ax + b \in I$.

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $J$, et on a : $f'(x) = a \times g'(ax + b)$.

II. Un exemple de démonstration : démonstration de la dérivée d'une somme

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$.

$u : x \mapsto u(x)$

$v : x \mapsto v(x)$

$(u + v) : x \mapsto (u + v)(x) = u(x) + v(x)$

On a donc :

$\tau(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

$\phantom{\tau(h)}= \dfrac{(u+v)(a+h) - (u+v)(a)}{h}$

$\phantom{\tau(h)}= \dfrac{u(a+h) + v(a+h) - [u(a) + v(a)]}{h}$

$\phantom{\tau(h)}= \dfrac{u(a+h) - u(a) + v(a+h) - v(a)}{h}$

$\tau(h) = \dfrac{u(a+h) - u(a)}{h} + \dfrac{v(a+h) - v(a)}{h}$

En passant à la limite :

$\small\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \left( \dfrac{u(a+h) - u(a)}{h} + \dfrac{v(a+h) - v(a)}{h} \right)$

$\phantom{\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) }= u'(a) + v'(a)$.

Ainsi, $(u + v)' = u' + v'$.

III. Des exemples d'application

$\checkmark$ une somme : Soit $f(x) = x^2 + x$. Calculons sa dérivée :

$f'(x) = (x^2)' + (x)'$

$f'(x) = 2x + 1$.

Ainsi, $f'(x) = 2x + 1$.

$\checkmark$ un produit :

Soit $f(x) = 3x(2x - 3)$.

En développant : $f(x) = 6x^2 - 9x$

On dérive terme à terme : $f'(x) = (6x^2)' - (9x)'$

$f'(x) = 12x - 9$

Dans des cas simples comme celui-ci, nous ne sommes pas obligés d’utiliser la formule du produit. Il suffit parfois de développer pour arriver à un polynôme, dont l’expression est très simple à dériver.

Un autre produit : Soit $g(x) = x\sqrt{x}$.

On pose :

$u(x) = x$
$u'(x) = 1$

$v(x) = \sqrt{x}$
$v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

En appliquant la formule du produit :

$g'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x)$

$g'(x) = 1 \times \sqrt{x} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times x$

$g'(x) = \sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}}$

Or, $\dfrac{x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{x}$, donc : $g'(x) = \sqrt{x} + \dfrac{1}{2} \sqrt{x}$

$g'(x) = \dfrac{3}{2} \sqrt{x}$.

$\checkmark$ un inverse :

Soit $f(x) = \dfrac{1}{2x - 3}$, avec $x \neq \dfrac{3}{2}$.

On pose :

$v(x) = 2x - 3$
$v'(x) = 2$

En appliquant la formule de dérivation de $\dfrac{1}{v}$ :

$f'(x) = - \dfrac{v'(x)}{v(x)^2}$

$f'(x) = - \dfrac{2}{(2x - 3)^2}$.

$\checkmark$ un quotient :