Signe d'un trinôme du second degré

Étudier le signe d’un trinôme revient à connaître les intervalles sur lesquels il est positif, négatif et connaître la ou les valeurs de $x$ pour lesquelles il s’annule.

Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.

On sait que, on a pour tout réel $x$ :

$ax^2 + bx + c = a \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right]$.

I. Cas n°1 : $\Delta$ est négatif strictement ($\Delta \lt 0$)

Théorème : Si $\Delta < 0$, le trinôme est du signe de $a$.

Démonstration :

On a $-\dfrac{\Delta}{4a^2} > 0$ et $\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 \geq 0$, donc :

$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \geq 0$.

Donc le trinôme est du signe de $a$.

II. Cas n°2 : $\Delta$ est nul ($\Delta = 0$)

Théorème : Si $\Delta = 0$, le trinôme est du signe de $a$ et s’annule en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.

Démonstration :

On a $-\dfrac{\Delta}{4a^2} = 0$ et $\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 \geq 0$.

Le trinôme est donc du signe de $a$ et s’annule en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.

III. Cas n°3 : $\Delta$ est positif strictement ($\Delta \gt 0$)

L’expression $ax^2 + bx + c$ peut s’écrire sous la forme factorisée :

$a (x - x_1)(x - x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme avec $x_1 \lt x_2$.

On se ramène alors à une équation produit étudiée en classe de seconde.

Récapitulatif