Diverses méthodes pour factoriser un polynôme du second degré

Soit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$. On cherche à factoriser cette expression.

I. En reconnaissant le début d'une identité remarquable

Rappels

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ peut s'écrire aussi $a^2+2ab=(a+b)^2-b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ peut s'écrire aussi $a^2-2ab=(a-b)^2-b^2$

À savoir maîtriser

$x^2+2ax=(x+a)^2-a^2$

$x^2+ax=\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2$

$x^2-2ax=(x-a)^2-a^2$

$x^2-ax=\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2$

1. Un exemple simple : a=1

Écrire $f(x)=x^2+2x-8$ sous forme canonique

● Principe : on doit reconnaître sur $x^2+2x$ le début d'une identité remarquable.

$(x+1)^2= x^2+2x +1$

d'où $x^2+2x=(x+1)^2-1$

● Ainsi : $f(x)=x^2+2x-8=(x+1)^2-1-8=(x+1)^2-9$

$(x+1)^2-9$ est bien de la forme ${ a}(x-{\alpha})^2+{\beta}$ ; c'est la forme canonique de $f(x)$.

2. Autre exemple : $a\neq 1$

Écrire $g(x)=3x^2-30x+12$ sous forme canonique

● On commence par factoriser par $a$, coefficient de $x^2$ :

$3x^2-30x+12=3({x^2-10x}+4)$

● ${x^2-10x}$ est le début du développement d'une identité remarquable de type $(a-b)^2$
→ petite astuce : on divise le coefficient de $x$ par 2

$\left(x-\dfrac{10}{2}\right)^2=(x-5)^2={x^2-10x}+25$

d'où : ${x^2-10x}=(x-5)^2-25$

● Ainsi :

$g(x)=3x^2-30x+12=3(x^2-10x+4)=3\left[(x-5)^2-25+4\right]=3\left[ (x-5)^2-21\right]$

$g(x)=3(x-5)^2-63$ qui est la forme canonique de $g(x)$.

II. Par le calcul des coordonnées du sommet de la parabole

Exemple : $f(x)=x^2+2x-8$

● $a=1 ;\; b=2;\; c=-8$

$\alpha = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac 2 2 = -1$ et $\beta = f(\alpha)=-9$

● d'où la forme canonique est : $f(x)=1\times\left((x-(-1))\right)^2-9=(x+1)^2-9$ qu'on peut alors factoriser comme différence de deux carrés.

III. En factorisant le trinôme : quelques outils

Soit le trinôme P tel que $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$

Si le trinôme P admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement confondues), alors :

pour tout réel $x$, $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Remarque : Tous les trinômes ne sont pas factorisables ; pour être factorisable, un polynôme du second degré doit admettre 1 racine double ou 2 racines distinctes.

Plusieurs outils sont disponibles pour essayer de factoriser un trinôme.

1. Outils usuels de la factorisation

● Reconnaître une identité remarquable : la factorisation est alors immédiate

Exemple : $g(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2$ → 2 est racine double

$h(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$

● Cas du coefficient constant nul : mise en évidence de facteurs communs

Exemple : $f(x)=2x^2-4x\quad a=2\quad b=-4\quad c=0$

$f(x)=2x(x-2)$

● Cas du coefficient de $x$ nul

Exemple :

$j(x)=5x^2+20\quad a=5 \quad b=0 \quad c=20$

$j(x)=5(x^2+4)$. Pour cet exemple, on ne peut pas factoriser davantage car $x^2+4$ n'admet pas de racine réelle.

● Dédoublement d'un terme puis regroupement

Exemple :

$k(x)=x^2-3x+2=x^2-2x-x+2$

$k(x)=(x^2-x)-2x+2$

$k(x)=x(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x-2)$

● A partir d'une racine évidente

Rappel

Si $\alpha$ est racine de $P$, alors on peut factoriser $P$ par $(x-\alpha)$
Réciproquement : si on peut factoriser $P$ par $(x-\alpha)$, alors $\alpha$ est racine de $P$

Exemple 1 : $f(x)=x^2+6x-7$

● 1 est racine évidente car $f(1)=0$, et ce n'est pas une racine double (sinon, on reconnaîtrait une identité remarquable).

● $f(x)$ est donc factorisable par $(x-1)$, soit $f(x)=(x-1)(x-x_2)$ où $x_2$ est la seconde racine.

● On développe : $f(x)=x^2-(1+x_2)x+x_2$

● Par identification, on trouve $x_2=-7$

Ainsi, $f(x)=(x-1)(x+7)$ est la forme factorisée de $f(x)$ ; 1 et -7 sont les deux racines.

Exemple 2 : $P(x)=x^2+2x-3$

● Par calcul mental, on remarque que $P(1)=1^2+2\times 1-3=0$, 1 est donc racine de $P$.

● On peut donc écrire que $P(x)=P(x)-P(1)$