Somme et produit des racines, symétrie des racines

I. Somme et produit des racines

Théorème : Si le trinôme $ax^2 + bx + c$ admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme $S$ et leur produit $P$ vérifient :

$S = -\dfrac{b}{a}$ et $P = \dfrac{c}{a}$.

Démonstration :

Cas où $ax^2 + bx + c = 0$ admet deux solutions distinctes.

Soient : $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

$\checkmark$ Calcul de la somme des racines :

$S = x_1 + x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

$S = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

$S = \dfrac{-2b}{2a}$.

$S = -\dfrac{b}{a}$.

$\checkmark$Calcul du produit des racines :

$P = x_1 \times x_2 = \left( \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \times \left( \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right)$.

$P = \dfrac{(-b - \sqrt{\Delta})(-b + \sqrt{\Delta})}{(2a)^2}$.

$P = \dfrac{b^2 - \Delta}{4a^2}$.

Or, $\Delta = b^2 - 4ac$, donc :

$P = \dfrac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2}$.

$P = \dfrac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2}$.

$P = \dfrac{4ac}{4a^2}$.

$P = \dfrac{c}{a}$.

Propriété : Deux réels ont pour somme $S$ et pour produit $P$ si et seulement s’ils sont solutions de l’équation : $x^2 - Sx + P = 0$.

Exemple

L’équation $2x^2 - x - 1 = 0$ admet $x_1 = 1$ comme solution évidente.

L’autre solution $x_2$ vérifie donc :

$x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$.

$1 \times x_2 = \dfrac{-1}{2}$.

D’où $x_2 = -\dfrac{1}{2}$.

II. Racines et symétrie de la courbe

Propriété : Si $ax^2 + bx + c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$, alors l'abscisse du sommet de la parabole vaut : $\alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$. Comme la somme des racines vaut $-\dfrac ba$, la courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$.