Sens de variation des fonctions exponentielles

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I. Sens de variation en fonction de $a$

La fonction exponentielle $x \mapsto a^x$ varie en fonction de la valeur de la constante $a$. Nous allons maintenant analyser comment le sens de variation change selon que $a$ est supérieur à $1$, inférieur à $1$, ou égal à $1$.

1. Si $a \gt 1$ :

Lorsque $a$ est supérieur à $1$, la fonction $x \mapsto a^x$ est croissante. Cela signifie que plus $x$ augmente, plus $a^x$ augmente.

Exemple :
Prenons $a = 2$ et $x = 1, 2, 3$. Calculons les valeurs de $a^x$ :
$2^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8$
On observe que la fonction est croissante : $2^1 < 2^2 < 2^3$.

2. Si $0 \lt a \lt 1$ :

Lorsque $a$ est compris entre $0$ et $1$, la fonction $x \mapsto a^x$ est décroissante. Cela signifie que plus $x$ augmente, plus $a^x$ diminue.

Exemple :
Prenons $a = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1, 2, 3$. Calculons les valeurs de $a^x$ :
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = \dfrac{1}{2}, \quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}, \quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$
On observe que la fonction est décroissante : $\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{1}{4} \gt \dfrac{1}{8}$.

3. Si $a = 1$ :

Lorsque $a = 1$, la fonction devient constante, c'est-à-dire que pour tous les $x$, $1^x = 1$. La fonction ne varie pas, elle reste égale à $1$ quelle que soit la valeur de $x$.

Exemple :
Prenons $a = 1$ et $x = 1, 2, 3$. Calculons les valeurs de $a^x$ :
$1^1 = 1, \quad 1^2 = 1, \quad 1^3 = 1$
On observe que la fonction est constante :$1^x = 1$ pour tous les $x$.

II. Exemple : Sens de variation d’une fonction exponentielle

Soit $a = 3$ et $x = 0, 1, 2, 3$. Calculons $a^x$ pour ces valeurs de $x$ et déterminons le sens de variation de la fonction.

On a :
$3^0 = 1, \quad 3^1 = 3, \quad 3^2 = 9, \quad 3^3 = 27$

Conclusion : La fonction est croissante :$3^0 < 3^1 < 3^2 < 3^3$.

III. Exemple : Sens de variation avec $a = \frac{1}{3}$

Prenons maintenant $a = \frac{1}{3}$ et $x = 0, 1, 2, 3$. Calculons les valeurs de $a^x$.

On a :
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^0 = 1, \quad \left(\dfrac{1}{3}\right)^1 = \dfrac{1}{3}, \quad$

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}, \quad \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$ ​

Correction : La fonction est décroissante : $1 \gt \dfrac{1}{3} \gt \dfrac{1}{9} \gt \dfrac{1}{27}$.

IV. Exemples de courbes représentatives

V. Situation concrète : Évolution d’une population de bactéries

Imaginons qu’une population de bactéries diminue d’un facteur $a = 0.9$ chaque heure. Le nombre de bactéries $P(t)$ après $t$ heures est modélisé par la fonction exponentielle suivante :
$P(t) = P_0 \times 0.9^t$
où $P_0$ est la population initiale.

Si la population initiale est de 1000 bactéries, combien de bactéries restera-t-il après 5 heures ?

Calculons :
$P(5) = 1000 \times 0.9^5 = 1000 \times 0.59049 = 590.49$

Correction : Après 5 heures, il restera environ 590 bactéries, la population ayant diminué selon une fonction exponentielle décroissante.