Sens de variation d'une fonction polynôme du second degré

I. Sommet et coordonnées

Propriétés : Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.

$\circ\quad$ La courbe représentative de la fonction $f$ est une parabole de sommet $S(\alpha ; \beta)$.

Le sommet de la parabole représentative de la fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ a pour coordonnées : $S \left( \alpha, \beta \right)$

Les coordonnées du sommet peuvent donc s’écrire de plusieurs manières :
$S \left( -\dfrac{b}{2a} ; \dfrac{\Delta}{4a} \right)$ ou $S \left( -\dfrac{b}{2a} ; f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right)$.

$\circ\quad$ Une parabole possède un axe de symétrie d’équation $x = -\dfrac{b}{2a}$ ou $x = \alpha$.

II. Courbes et tableaux de variations

1er cas :$a\gt 0$ : La fonction est décroissante puis croissante.

2e cas : $a\lt 0$ : la fonction est croissante puis décroissante

III. Un exemple

Soit $f$ la fonction polynôme définie sur $R$ par $f(x)=2x^2-6x+2,5$

Représenter graphiquement la courbe de $f$ dans un repère orthogonal du plan.

Solution :

$f(x)=2x^2-6x+2,5$ est du type $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a=2$ ; $b=-6$ et $c=2,5$

$f$ est donc un polynôme du second degré dont la courbe représentative est une parabole;
$a= 2$ ; donc $a\gt 0$ et on obtient une parabole "tournée vers le haut"

Avec les notations utilisées ci-dessus, $\alpha = \dfrac{-b}{2a}=-\dfrac{-6}{4}=\dfrac 3 2$ et $\beta=f\left(\frac 3 2\right)=2\left(\frac 3 2\right)^2-6\left(\frac 3 2\right)+2,5=-2$

Donc la parabole admet pour sommet $S\left(\frac 3 2; -2\right)$. On complète en prenant quelques valeurs pour obtenir un tracé plus précis.

Son tableau de variations est donc :

La fonction est décroissante sur $]-\infty;\;\frac 3 2]$ et croissante sur $[\frac3 2;\;+\infty[$.

Elle admet donc un minimum, ici -2 , minimum qui est atteint pour $x=\frac 3 2$