I. Sommet et coordonnées
Propriétés : Soit f(x)=ax2+bx+c avec a=0.
∘ La courbe représentative de la fonction f est une parabole de sommet S(α;β).
Le sommet de la parabole représentative de la fonction f(x)=ax2+bx+c a pour coordonnées : S(α,β)
Les coordonnées du sommet peuvent donc s’écrire de plusieurs manières :
S(−2ab;4aΔ) ou S(−2ab;f(−2ab)).
∘ Une parabole possède un axe de symétrie d’équation x=−2ab ou x=α.
II. Courbes et tableaux de variations
1er cas :a>0 : La fonction est décroissante puis croissante.
2e cas : a<0 : la fonction est croissante puis décroissante
III. Un exemple
Soit f la fonction polynôme définie sur R par f(x)=2x2−6x+2,5
Représenter graphiquement la courbe de f dans un repère orthogonal du plan.
Solution :
f(x)=2x2−6x+2,5 est du type f(x)=ax2+bx+c avec a=2 ; b=−6 et c=2,5
f est donc un polynôme du second degré dont la courbe représentative est une parabole;
a=2 ; donc a>0 et on obtient une parabole "tournée vers le haut"
Avec les notations utilisées ci-dessus, α=2a−b=−4−6=23 et β=f(23)=2(23)2−6(23)+2,5=−2
Donc la parabole admet pour sommet S(23;−2). On complète en prenant quelques valeurs pour obtenir un tracé plus précis.
Son tableau de variations est donc :
La fonction est décroissante sur ]−∞;23] et croissante sur [23;+∞[.
Elle admet donc un minimum, ici -2 , minimum qui est atteint pour x=23
