Sens de variation d'une fonction polynôme du second degré

icône de pdf
Signaler
Découvre comment tracer la courbe d’un polynôme du second degré. Coordonnées du sommet, axe de symétrie, variations, et exemple détaillé pour maîtriser la parabole. Mots-clés : sommet, parabole, axe de symétrie, variations, polynôme du second degré.

I. Sommet et coordonnées

Propriétés : Soit f(x)=ax2+bx+c f(x) = ax^2 + bx + c avec a0 a \neq 0 .

\circ\quad La courbe représentative de la fonction f f est une parabole de sommet S(α;β) S(\alpha ; \beta) .

Le sommet de la parabole représentative de la fonction f(x)=ax2+bx+c f(x) = ax^2 + bx + c a pour coordonnées : S(α,β) S \left( \alpha, \beta \right)

Les coordonnées du sommet peuvent donc s’écrire de plusieurs manières :
S(b2a;Δ4a) S \left( -\dfrac{b}{2a} ; \dfrac{\Delta}{4a} \right) ou S(b2a;f(b2a)) S \left( -\dfrac{b}{2a} ; f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right) .

\circ\quad Une parabole possède un axe de symétrie d’équation x=b2a x = -\dfrac{b}{2a} ou x=α x = \alpha .

II. Courbes et tableaux de variations

1er cas :a>0a\gt 0 : La fonction est décroissante puis croissante.

2e cas : a<0a\lt 0 : la fonction est croissante puis décroissante

picture-in-text

picture-in-text

picture-in-text

III. Un exemple


Soit f f la fonction polynôme définie sur R R par f(x)=2x26x+2,5 f(x)=2x^2-6x+2,5

Représenter graphiquement la courbe de f f dans un repère orthogonal du plan.

Solution :

f(x)=2x26x+2,5 f(x)=2x^2-6x+2,5 est du type f(x)=ax2+bx+c f(x)=ax^2+bx+c avec a=2 a=2 ; b=6 b=-6 et c=2,5 c=2,5

f f est donc un polynôme du second degré dont la courbe représentative est une parabole;
a=2 a= 2 ; donc a>0 a\gt 0 et on obtient une parabole "tournée vers le haut"

Avec les notations utilisées ci-dessus, α=b2a=64=32 \alpha = \dfrac{-b}{2a}=-\dfrac{-6}{4}=\dfrac 3 2 et β=f(32)=2(32)26(32)+2,5=2 \beta=f\left(\frac 3 2\right)=2\left(\frac 3 2\right)^2-6\left(\frac 3 2\right)+2,5=-2

Donc la parabole admet pour sommet S(32;2) S\left(\frac 3 2; -2\right) . On complète en prenant quelques valeurs pour obtenir un tracé plus précis.

Son tableau de variations est donc :

picture-in-textLa fonction est décroissante sur ];  32] ]-\infty;\;\frac 3 2] et croissante sur [32;  +[ [\frac3 2;\;+\infty[ .

Elle admet donc un minimum, ici -2 , minimum qui est atteint pour x=32 x=\frac 3 2

picture-in-text