Fonction polynôme du second degré

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Maîtrise les fonctions polynômes de second degré : définition, forme canonique, discriminant, et démonstration pas à pas. Une base essentielle pour résoudre et analyser les trinômes. Mots-clés : trinôme, polynôme, forme canonique, discriminant, fonction quadratique.

I. Définition

Une fonction polynôme de degré 2, appelée aussi trinôme, est une fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=ax2+bx+c. f(x) = ax^2 + bx + c.
Les nombres aa, bb et cc sont appelés coefficients du trinôme et sont des réels, avec a≠0a \neq 0 (sinon, la fonction serait affine ou linéaire).

Exemples :

∘f(x)=2x2+4x+2\circ\quad f(x) = 2x^2 + 4x + 2 est une fonction polynôme de degré 2 avec a=2a = 2, b=4b = 4 et c=2c = 2.

∘g(x)=2x+5\circ\quad g(x) = 2x + 5 n’est pas une fonction polynôme de degré 2 mais de degré 1, car ici a=0a = 0.

II. Forme canonique

Théorème : Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur R\mathbb{R} par
f(x)=ax2+bx+c,avec a≠0, f(x) = ax^2 + bx + c, \quad \text{avec } a \neq 0, peut s’écrire sous la forme :
f(x)=a(x−α)2+β, f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, où : α=−b2aetβ=f(α). \alpha = -\dfrac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha).
Cette écriture est appelée forme canonique de la fonction ff.

Démonstration :

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c

=a[x2+bax]+c= a \left[ x^2 + \dfrac{b}{a}x \right] + c

=a[(x+b2a)2−(b2a)2]+c= a \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 \right] + c

=a(x+b2a)2−ab24a2+c= a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - a \dfrac{b^2}{4a^2} + c

=a(x+b2a)2−b24a+c= a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c

=a(x+b2a)2−b24a+c= a (x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c

=a(x+b2a)2+(c−b24a)= a (x + \dfrac{b}{2a})^2 + \left( c - \dfrac{b^2}{4a} \right)

Or, nous avons :

α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a}

β=c−b24a=−b2+4ac4a\beta = c - \dfrac{b^2}{4a} = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

Ainsi, nous retrouvons bien :

f(x)=a(x−α)2+βf(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta avec α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a} et β=−b2+4ac4a\beta = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}.

III. Discriminant

Définition : On appelle discriminant du trinôme le réel
Δ=b2−4ac. \Delta = b^2 - 4ac.

Remarque : La forme canonique d’un trinôme peut alors s’écrire :
f(x)=a(x+b2a)2−Δ4a. f(x) = a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}.

Leçon suivante
Sens de variation d'une fonction polynôme du second degré