Fonction polynôme du second degré

I. Définition

Une fonction polynôme de degré 2, appelée aussi trinôme, est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = ax^2 + bx + c.$
Les nombres $a$, $b$ et $c$ sont appelés coefficients du trinôme et sont des réels, avec $a \neq 0$ (sinon, la fonction serait affine ou linéaire).

Exemples :

$\circ\quad f(x) = 2x^2 + 4x + 2$ est une fonction polynôme de degré 2 avec $a = 2$, $b = 4$ et $c = 2$.

$\circ\quad g(x) = 2x + 5$ n’est pas une fonction polynôme de degré 2 mais de degré 1, car ici $a = 0$.

II. Forme canonique

Théorème : Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad \text{avec } a \neq 0,$ peut s’écrire sous la forme :
$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta,$ où : $\alpha = -\dfrac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha).$
Cette écriture est appelée forme canonique de la fonction $f$.

Démonstration :

$f(x) = ax^2 + bx + c$

$\phantom{f(x)}= a \left[ x^2 + \dfrac{b}{a}x \right] + c$

$\phantom{f(x)}= a \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 \right] + c$

$\phantom{f(x)}= a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - a \dfrac{b^2}{4a^2} + c$

$\phantom{f(x)}= a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c$

$\phantom{f(x)}= a (x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c$

$\phantom{f(x)}= a (x + \dfrac{b}{2a})^2 + \left( c - \dfrac{b^2}{4a} \right)$

Or, nous avons :

$\alpha = -\dfrac{b}{2a}$

$\beta = c - \dfrac{b^2}{4a} = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

Ainsi, nous retrouvons bien :

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$.

III. Discriminant

Définition : On appelle discriminant du trinôme le réel
$\Delta = b^2 - 4ac.$

Remarque : La forme canonique d’un trinôme peut alors s’écrire :
$f(x) = a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}.$